高考数学复习好题精选 双曲线

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1、双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.(·汕头一模)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为(　　)A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝D．x2－y2＝解析：由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0)，则c＝a，渐近线y＝x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B2．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，

2、

3、·

4、

5、＝2，则该双曲线的方程是(　　)A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解

6、析：∵·＝0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，∴

7、MF1

8、2＋

9、MF2

10、2＝40，∴(

11、MF1

12、－

13、MF2

14、)2＝

15、MF1

16、2－2

17、MF1

18、·

19、MF2

20、＋

21、MF2

22、2＝40－2×2＝36，∴

23、

24、MF1

25、－

26、MF2

27、

28、＝6＝2a，a＝3，又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.答案：A题组二双曲线的几何性质3.(·宁夏、海南高考)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．2B．2C.D．1解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距

29、离相等，d＝＝2.答案：A4．(·普宁模拟)已知离心率为e的曲线－＝1，其右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则e的值为(　　)A.B.C.D.解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a2＋7＝16，∴a2＝9，∴e＝＝.答案：C5．(·江西高考)设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　)A.B．2C.D．3解析：＝tan60°，＝⇒4b2＝3c2⇒4(c2－a2)＝3c2⇒c2＝4a2⇒＝4⇒e＝2.答案：B6．(·广州模拟)已知点F是双

30、曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)解析：如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<45°.又当x＝－c时，y＝，∴tan∠AEF＝＝<1，∴e2－e－2<0，又e>1，∴1

31、－＝1只有一个交点的直线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．答案：C8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：由题意知，A(3,0)，F(5,0)，渐近线斜率k＝±，则直线方程为y＝(x－5)，代入－＝1，得x＝，∴y＝－，即B(，－)，∴S△AFB＝×2×＝.答案：题组四双曲线的综合问题9.(·德州模拟)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)

32、2＋y2＝1上的点，则

33、PM

34、－

35、PN

36、的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，

37、PM

38、max＝

39、PF1

40、＋2，

41、PN

42、min＝

43、PF2

44、－1，故

45、PM

46、－

47、PN

48、的最大值为(

49、PF1

50、＋2)－(

51、PF2

52、－1)＝

53、PF1

54、－

55、PF2

56、＋3＝5.答案：510．(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆

57、＋＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．解：(1)切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0.设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为－＝1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(±，0)，∴c＝，又e＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2.∴双曲线方程为－＝1.11．已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘

58、积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求

59、PA

60、的最小值．解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·＝＝.∴点P到双曲线C的两条渐近线的距