高考数学复习点拨 综述圆方程的寻求方法

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1、综述圆方程的寻求方法一、“标准方程”法利用圆的圆心和半径这些几何特征，采用标准方程为：，进行求解圆方程的方法。例1过点A（1，－1），B（－1，1），且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程是（）A、B、C、D、【解】由于圆心在直线x+y－2=0上，故可设圆心坐标为：（a，2－a），半径为：r，圆方程为：，根据圆过点A（1，－1），B（－1，1）得：，解得a=1，。故所求圆的方程为：，选C。例2求经过点A（－2，4），且与直线l：x+3y－26=0相切于点B（8，6）的圆的方程。【解】设圆的方程为：，由

2、CA

3、=

4、CB

5、

6、，CB⊥l，得，，。圆方程为：。例3已知圆满足：①截y轴所得得弦长为2，②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1,在满足①②的所有圆中,求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。【解】法1：设圆的方程为：，圆心P（a，b）到x、y轴的距离分别是

7、b

8、

9、、

10、a

11、。由题设知圆P截x轴所得的劣弧所对圆心角为90°，故圆P截x轴所得的弦长为，所以，圆P截y轴所得的弦长为2，所以，从而，；又因为P（a，b）到直线l：x－2y=0的距离为，所以，当且仅当a=b时等号成立，此时，这时有或，由得：，故所求圆的方程为：或。【点评

12、】利用圆的几何性质找出a、b、r的关系是关键，求距离的最小值要选择适当的方法二、“一般方程”法利用圆的一般方程，将所求圆设成一般形式方程：，根据题中的已知条件进行求解圆方程的方法。例4（同例2题目）【解】设所求圆的方程为：，则CB⊥l，A（－2，4），B（8，6）在圆上，所以的方程组：，整理得：，解得D=－11；E=3；F=－30。故所求圆的方程为：。【点评】分析方程中各个字母的含义，是应用好防城的关键。三、“圆系”法利用过两圆交点的圆方程，采用巧设方程，不求坐标的方法，简化运算。过两圆交点的圆系方程为：。例5已知两圆

13、的方程：；：。直线l：x+2y=0，求经过圆、的交点且和直线l相切的圆的方程。【解】设所求圆的方程为：（k≠－1），整理得：，圆心为，圆心到直线的距离d等于半径得：，解得：k=1，故所求圆的方程为：。例6求过直线2x+y+4=0和圆的交点，且面积最小的圆的方程。【解】设过直线2x+y+4=0和圆交点的圆方程为：，则。要使圆的面积最小，必须半径r最小，r，当且仅当时r最小。所求圆的方程为：。四、“对称”法根据两圆成中心对称或成轴对称的特征求圆的方程。例7已知圆C：和直线l：3x－4y+5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方

14、程。【解】因为圆C的圆心为（－2，6），半径为1，易求得点（－2，6）关于直线l：3x－4y+5=0，的对称点为：（4，－2），而对称圆的半径相同，故所求圆的方程为：。五、“直径”法若A，B，直径为AB的圆方程是，通常利用此方程进行求解时通常称为“直径”法。例8（同例6）求过直线2x+y+4=0和圆的交点，且面积最小的圆的方程。【解】因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是依此二定点为直径端点的圆，于是解方程组，得交点坐标、，利用圆的直径式方程。化简整理得：。