广东省惠州市高一数学竞赛试题

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1、惠州市高一年级数学竞赛试题考试时间1分值150分一、选择题（每题5分，共30分）1．非空集合S且若则必有，则所有满足上述条件的集合S共有（）．．6个　　　．7个．8个．9个2当时，，则下列大小关系正确的是（）．．　　．．　　　．3．有三个命题：（1）空间四边形ABCD中，若AC=BC，AD=BD，则AB⊥CD．（2）过平面的一条斜线存在一个平面与垂直．（3）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直．其中正确的命题个数（）．．0　．1　　．2．34．如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳

2、到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该蛙从5这点跳起，经次跳后它将停在的点是．．．　　．5．若是上的奇函数，则是（）．．奇函数．偶函数．非奇非偶函数．奇偶性与相关6．对于每一个实数，设三个函数中的最小值，则的最大值是（）．．．3．．7．若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据为4，现在样本容量为9，则样本平均数和方差分别为（）．．．．．8．已知定义域为R上的函数单调递增，如果且则的值（　　）．可能为　　．恒大于　．恒小于　．可正可负一、填空题（每题5分，共30分）9．已知是定义在R上的函

3、数，且对任意的，有成立．若．10．已知是定义在（）上的偶函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围．11．在空间直角坐标系中，已知点A的坐标是（1，，11），点B的坐标是（4，2，3），点C的坐标是（6，，4），则三角形ABC的面积是．12．若实数满足条件，则代数式的取值范围是．13．已知函数，那么+=．14．用S（）表示自然数n的数字和，例如：S（10）=1+0=1，S（909）=9+0+9=18，若对于任何，都有，满足这个条件的最大的两位数的值是．二、解答题(本题共80分)15．（本小题12分）已知向量，其中.（1）求证：；（2）设函数，求的最大值和最

4、小值16．（本小题12分）已知，，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．17．（本小题14分）已知圆点，过点作圆的切线为切点．（1）求所在直线的方程；（2）求切线长；（3）求直线的方程．18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知．．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）证明：BC⊥AC，并求二面角的大小；（3）求此几何体的体积．19．（本小题14分）已知一次函数与二次函数，满足，且（1）求证：函数的图象有两个不同的交点A,B；（2）设A1,B1是A,B两点在x轴上的射影,求线段A1B1长的取

5、值范围；（3）求证：当时,恒成立.本小题14分）设为自然数，已知，，求．参考答案一、选择题：（每小题5分，共40分）题号12345678答案BCDABADC二、填空题：（每小题5分，共30分）9、10、11、12、13、401514、三、解答题：（共80分）15．已知向量，其中.（1）求证：；（2）设函数，求的最大值和最小值解：（1）所以，（2）当16．（本小题12分）已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，求的取值范围．解：，　　　……………………………………2分令，由题意知：当时，恒有，　　　……………………………………5分当时，不满足题意．　　……

6、………………………………………………………7分当时，有，解得：或．．……………………………………………………………12分17．（本小题14分）已知圆点，过点作圆的切线为切点．（1）求所在直线的方程；（2）求切线长；（3）求直线的方程．解：①设切线的斜率为，切线方程为，即又C（1，2），半经由点到直线的距离公式得：，解之得：或．故所求切线PA、PB的方程分别为：．……………………4分②连结AC、PC，则AC⊥PA，在三角形APC中．……………………………………………………………8分③解法1：设，则．因AC⊥AP，所以，．．，……………………………………………

7、……………10分上式化简为：．同理可得：．…………………………………………………………12分因为A、B两点的坐标都满足方程．所以直线AB的方程为．…………………………………………………14分解法2：因为A、B两点在以CP为直经的圆上．CP的中点坐标为（），又所以以CP为直经的圆的方程为：，又圆C的一般方程为，两式相减得直线AB的直线方程：．…………………………………………………………………………14分18．（本小题14分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2

8、）证明BC⊥AC，求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的