高考数学复习点拨 例说立体几何中的分类讨论

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1、例说立体几何中的分类讨论在立体几何中有时由于条件给出的点线面的位置关系不确定而引起分类讨论，这类问题的结果常有多解发生。但是我们解题时，往往容易忽略了其中引起讨论的因素而造成漏解。本文举例说明立体几何中需要讨论的几种情形，希望能对大家学习有所帮助。例1设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2米，所成角为600。现在两条直线上各有一点，它们距离公垂线的垂足都是10米，求这两点的距离。abMNABHa分析：如图，设a、b为题中成600的两异面直线，MN为它们的公垂线，MN=2，A、B分别在两直线

2、上，AM=BN=10，本题即要求AB的长度。容易发生以下错误。误解：过N作直线∥a，设直线和b确定平面，则MN⊥平面α。过A作AH⊥于H，易证AH⊥平面α，MNHA为矩形。∵异面直线a,b所成角为600，在ΔBNH中，BN=NH=10，，∴∴（米）评注：以上解法出现了漏解。事实上，根据异面直线所成角的定义，由异面直线a,b所成角为600，并不能推出，而应该推出或。因此，BH=10或BH=，AB=米或AB=4米。例2空间一点P到二面角的两个面的距离分别是1和，到棱的距离是2，求二面角的大小。分析：题

3、意中说P为空间的一点，所以要考虑P点在二面角内部和外部两种情况。解：设PA⊥α于A，PB⊥β于B，则PA=1，PB=，PA⊥,PB⊥,∴⊥平面PAB。设平面PAB与交于点C，则（1）（2）∠ACB为二面角的平面角，且PC⊥，PC=2，因此，在RtΔPBC中,∠PCB=450；在RtΔPAC中,∠PCA=300。（1）当P在∠ACB内部时，∠ACB=450+300=750，（2）当P在∠ACB外部时，∠ACB=450-300=150。即二面角的大小为750或150。例3线段AB∥平面M，从A、B分别

4、引AB的垂线而和平面M成300和600角，已知AB=1，平面M内这二斜足间距离为2。求AB和平面M的距离。分析：由于从A、B分别引AB的垂线的垂足可在过AB且垂直于平面M的平面的同侧或异侧，因此要分类求解。解：如图，设A、B在M内的射影分别为C、D，易得ACDB是矩形。设AC=BD=h为AB到平面M的距离，（1）（2）记平面M的两条斜线分别为AA1、BB1，A1、B1为斜足。则，∵AA1⊥AB，CD∥AB，∴AA1⊥CD，∴A1C⊥CD，同理B1D⊥CD。在平面M内作B1E∥CD交A1C于E点，则

5、CDB1E为矩形，∴B1E=CD=AB=1，在RtΔACA1中A1C=；在RtΔBDB1中。（1）当A1、B1在直线CD的同侧时，；（2）当A1、B1在直线CD的同侧时，。因此，AB和平面M的距离为或。例4一圆柱的底面半径为R，上底面的一条弦CD长度为a（0

6、点为M，AE的中点为N，过M作MP⊥下底面O于P，连结MN、OP、ON、O1M，易证O、P、N三点共线。∵MP⊥下底面O，PN⊥AE，由三垂线定理得MN⊥AE，∴∠MNP是截面与底面所成二面角的平面角，∠MNP=450，因此，在RtΔMNP中，MP=NP。（1）若O、P在N同侧且O在N、P之间，则圆柱的高；（2）若O、P在N同侧且P在N、O之间，（此时R

7、或。评注：由于AB、CD的具体位置不定，引起N、O、P三点相对位置有变化，从而NP的长度变化，故一定要进行分类讨论。立体几何中的分类讨论问题还有不少，以下几道题供大家练习：1．A是二面角的棱上一点，两条长度都等于a的线段AB、AC分别在内且都与棱成450角，求BC的长。2．一条线段AB的两端A、B和平面α的距离分别为30cm和50cm，P为AB上一点，且AP：BP=1：3，求P到平面α的距离。3．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，求

8、CS的长。4．将长和宽分别为8和4的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则所得圆柱的体积是多少？（答案：1.或；2.35cm或10cm；3.68或；4.或）