高考一轮数学复习 34数列求和 理 同步练习（名师解析）

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1、第3章第4节知能训练·提升考点一：利用等差、等比数列的求和公式求和1．等差数列{an}中，若a10＝10，a19＝100，前n项和Sn＝0，则n＝(　　)A．7　　　　B．9　　　　C．17　　　　D．19答案：C2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn＞10么n的最小值是(　　)A．7B．8C．9D．10解析：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.Sn＞102n＋1－2－n＞10∵210＝1024,102

2、4－2－9＝1013＜10故nmin＝10.答案：D考点二：裂项法求和3．求和：Sn＝＋＋＋…＋.解：对通项an＝变形，寻找规律．an＝＝＝1＋＝1＋＝1＋(－)．∴Sn＝n＋(1－＋－＋……＋－)＝n＋(1－)＝.4．设f(x)＝，x＝f(x)有唯一解，f(x1)＝，f(xn)＝xn＋1(n∈N*)．(1)求x的值；(2)若an＝－4009，且bn＝(n∈N*)，求证：b1＋b2＋…＋bn－n＜1.解：(1)由x＝，得ax(x＋2)＝x，∴ax2＋(2a－1)x＝0，∴当且仅当a＝时，x＝f(x)有唯一解x＝0

3、.从而f(x)＝.又由已知f(xn)＝xn＋1，得＝xn＋1.∴＝＋，即－＝(n∈N*)．∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴＝＋＝，∴xn＝.∵f(x1)＝，∴＝，即x1＝.∴xn＝＝，故x2004＝＝.(2)证明：∵xn＝，∴an＝×4－4009＝2n－1，∴bn＝＝＝＝1＋＝1＋－，∴b1＋b2＋…＋bn－n＝＋＋…＋－n＝1－＜1.考点三：分组法求和、错位相减求和5．求和：(1)Sn＝1＋11＋111＋…＋；(2)Sn＝(x＋)2＋(x2＋)2＋…＋(xn＋)2.解：(1)∵an＝(10n－1)，∴Sn＝

4、1＋11＋111＋…＋＝[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)]＝[(10＋102＋…＋10n)－n]＝[－n]＝.(2)当x＝±1时，∵(xn＋)2＝4，∴Sn＝4n，当x≠±1时，∵an＝x2n＋2＋，∴Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋(＋＋…＋)＝＋＋2n＝＋2n，所以当x＝±1时，Sn＝4n；当x≠±1时，Sn＝＋2n.6．若数列{an}的通项公式为an＝，则前n项和为(　　)A．Sn＝1－B．Sn＝2－－C．Sn＝n(1－)D．Sn＝2－＋解析：∵an＝，∴Sn＝1×＋2×＋…＋n×

5、，①Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，②①－②，得Sn＝＋＋…＋－，∴Sn＝1＋＋…＋－＝－＝2－－.答案：B7．(·潍坊质检)已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}，a1＝b1＝1，a3＋a5＋a7＝9，a7是b3和b7的等比中项．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)若cn＝2an·b，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由题设知a3＋a5＋a7＝9，∴3a5＝9，∴a5＝3.则d＝＝，∴an＝a1＋(n－1)d＝.∴a7＝4

6、.又∵a＝b3·b7＝16，∴b＝b3·b7＝16，又b5＞0，∴b5＝4，∴q4＝＝4，又q＞0，∴q＝，∴bn＝b1·qn－1＝.(2)cn＝2an·b＝(n＋1)·2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2＋3·2＋4·22＋…＋(n＋1)·2n－1，①2Tn＝2·2＋3·22＋…＋n·2n－1＋(n＋1)·2n，②①－②得，－Tn＝2＋2＋22＋…＋2n－1－(n＋1)·2n＝－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n.∴Tn＝n·2n.考点四：数列求和综合问题8．设数列{an}满足a1＝a，an＋1＝can＋1

7、－c，n∈N*，其中a，c为实数且c≠0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a＝，c＝，bn＝n(1－an)，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；(3)若0＜an＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1.解：(1)解法一：∵an＋1－1＝c(an－1)，∴当a≠1时，{an－1}是首项为a－1，公比为c的等比数列．∴an－1＝(a－1)cn－1，即an＝(a－1)cn－1＋1.当a＝1时，an＝1仍满足上式．∴数列{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N*)．解法二：由题设得：n≥2时，a

8、n－1＝c(an－1－1)＝c2(an－2－1)＝…＝cn－1(a1－1)＝(a－1)cn－1.∴an＝(a－1)cn－1＋1.n＝1时，a1＝a也满足上式．∴{an}的通项公式为an＝(a－1)cn－1＋1(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝n(1－a)cn－1＝n()n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋2()2＋…＋n()n，Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n