高考数学复习点拨 直线系方程及其应用

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1、直线系方程及其应用直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出直线方程。一、直线系方程的定义具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。二、直线系方程的常见类型1、过定点的直线系方程是：（是参数，直线系中未包括直线），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；2、平行于已经直线的直线系方程是：（是参数）；3、垂直于已经直线的直线系方程是：（是参数）；4、过两条已知直线：和：的交点的直线系方程是：（是参数，当时，方程变为，恰好表示直线；当时，方程表示过直线和的交

2、点，但不含直线和的任一条直线）。三、直线系方程的应用由于两个独立条件确定一条直线，因此，在求直线方程时，可根据直线系概念，先写出满足其中一个条件的直线系方程，然后用另一个条件求出直线系方程中的参数，即得我们所要求解的直线方程。平常实际教学中，直线系方程第一、第二和第三种常见类型我们用的比较多，而直线系方程第四种常见类型也有很好的用处。下面主要阐述直线系方程第四种常见类型的应用。例1、已知三角形三边所在的直线方程分别为：，，，求边上的高所在的直线方程。分析：此题解题方法比较多，常规方法计算较多，若引入直线系方程，则运算简便，解法精彩。解析：设所求高所在的直线方程为，即，则由与垂直，可

3、得，解得，所以所求高所在的直线方程为。例2、求过直线与的交点，且和、等距离的直线方程。分析：此题解题常规方法为设点斜式直线方程，但这样默认了所求直线的斜率存在的情况，往往遗漏了斜率不存在时的直线方程。若引入对应的直线系方程，则避免了这种情况的发生，解法非常巧妙。解析：设所求直线方程为，即，由点、到所求直线等距离，可得，整理可得，解得或，所以所求高所在的直线方程为或。