高考数学复习点拨 高考应用题中的函数方程思想

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1、高考应用题中的函数方程思想函数与方程的思想在高中数学中无处不在，特别是随着新课程的改革和创新型试题的深入研究，在近几年来的高考应用题中也出现了函数方程思想．我们知道解答应用问题的关键是“建模”，所以我们今天要建立的就是函数方程的模型．例1下图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段CA，AB，BC的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则()A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x3＞x1＞x2D．x3＞x2＞x1分析本题所给出的条件很少，重

2、要的信息都在图中，所以本题首先考查了“识图”能力，即善于从图形中捕捉信息．经过仔细观察，马上可以发现在A，B，C三个路口处可以建立三个方程．解观察路口A，得x1－55＋50＝x2；观察路口B，得x2－0＝x3；观察路口C，得x3－35＋30＝x1．即x1－5＝x2；x2＋10＝x3；x3－5＝x1．于是得x1＞x2；x3＞x2；x3＞x1．即x3＞x1＞x2．故选C．点评想一想，如果把三个方程联立，是否能解出三个未知数呢？答案是否定的，因为表面上的三个方程实质上仅有两个．例2图1图1是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将

3、A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为()A．15B．16C．17D．18分析本题中四个维修点的数量条件由题目给出，但关联条件仍需从图形中捕捉，即看清谁与谁是“相邻”的：A与B、B与C、C与D、D与A．另外，本题中没有给出未知变量，所以能否想到“建立函数方程的模型”来解题较为困难．于是产生联想：既然都是关于“流量”的应用题，我们何不自己设出变量从而建立方程呢？解设从A到B调整的配件数为x1，从B到C为x2，从C到D为x3，从D到A为x4，其

4、中xi(i＝1，2，3，4)为整数(可正可负，负时表示调整方向正好相反)．观察维修点A，得50＋x4－x1＝40；观察维修点B，得50＋x1－x2＝45；观察维修点C，得50＋x2－x3＝54；观察维修点D，得50＋x3－x4＝61．即x4＝x1－10；x2＝x1＋5；x3＝x2－4；x4＝x3－11．同样把四个方程联立，解不出四个未知数，因为实质上仅有三个方程．那么怎么求调动件次的最小值呢？由求最值容易联想到求函数最值，于是我们再建立一个函数模型．所以调动总件次为y＝│x1│＋│x2│＋│x3│＋│x4│＝│x1│＋│x1＋5│＋│x1＋1│＋│x1－10│．这时看到函数的形式，马上又联想

5、到另一高考题：函数的最小值为()A．190　　　　B．171　　　C．90　　　D．45．于是解得当－1≤x1≤0时，调动的总件次y最小，且最小值为16．故选B．点评事实上，由x1为整数，所以当－1≤x1≤0时，就是x1＝－1或0，对应可得x2，x3，x4的值，因此本题一共有两种调动达最少的方案．从例2的解答上也说明了这样一点，做做前几年的高考题对于我们参加即将到来的新高考是很有借鉴意义的．我们经常不止一次的从前几年的高考题中找到后来高考题的影子，所以好好挖掘宝藏吧．