高考数学复习点拨 统计案例复习问答

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1、《统计案例》复习问答一、【问】回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．相关关系又分线性相关关系和非线性相关关系，如何利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行研究呢？【答】利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行研究的步骤为：①画出两个变量的散点图；②求回归直线方程；③用回归直线方程进行预报．其中求回归直线方程是关键．而对于线性回归模型来说，估计模型中的未知参数和的最好方法就是最小二乘估计和，其计算公式为，．例1　某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入（万元）24466677810年饮食支出（万元）0．91．41．62．0

2、2．11．91．82．12．22．3（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．解析：（1）由题意知，年收入x为解释变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图（如图所示）．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．，，，，，，．从而得到回归直线方程为．（2）万元．点评：①是斜率的估计值，说出年收入x每增加一万元，年饮食支出y就增加0．172万元，这表明了年饮食支出与年收入具有正的线性相关关系．②对于该家庭年收入为9万元，由回归方程得到的年饮食支出

3、的预报值2．346万元，并不能说该家庭的年饮食支出一定是2．346万元．一般说来，不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．二、【问】上面说到，判断解释变量x与预报变量y是否具有线性相关关系，先作出散点图，从点的分布特征来判定是否线性相关．那么，如果作图不准，出现误差怎么办？怎样更好地判定两个变量相关关系的强弱？【答】作相关性检验，通过作散点图，并观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近来判定，这样做既直观又方便，因而对解决相关性检验问题比较常用，但在作图中，由于存在误差，有时很难说这些点是不是分布在一条直线的附近，这时就很难判断两

4、个变量之间是否具有相关关系．因此，给定样本数据，单纯由散点图判定其是否大致在一条直线附近主观性太强，回归分析时还通常用相关系数r来检验两个变量之间线性相关关系的强弱．样本相关系数的具体计算公式为：；的绝对值接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．例2　为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得１０对母女的身高，所得数据如下表所示：母亲身高（cm）159160160163159154159158159157女儿身高（cm）15815916016116115

5、5162157162156试对x与y进行回归分析，并预报当母亲身高为161cm时，女儿的身高为多少？　　解析：作线性相关性检验，，，　　，　　，．　　因此．　　表明与有线性相关关系，因而求回归直线方程有必要．　　又，．　　由此可得回归直线方程为．斜率的估计值反映出当母亲身高每增加1cm时，女儿身高平均增加0．78cm，可以理解为女儿身高中不受母亲身高影响的部分．当母亲身高为时，女儿身高大致也为161cm．　　点评：本题是一个回归分析类问题，解决这一问题，首先应对问题进行必要的相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，再求出对应的回归直线的方程，最后利用回归直线方程由解释变量x的值

6、得到预报变量y的值．　　注意：如果不先作相关性检验，我们虽然也可以求出x与y的回归直线方程，但这时的回归直线方程也许没有任何实际价值，它也就不能确定地反映变量x与y之间的变化规律，只有在x与y之间具有相关关系时，求回归直线方程才具有实际意义．三、【问】如何比较两个不同回归模型的拟合效果？【答】首先建立回归模型，其基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性相关关系等）；③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程）；④按一定规则估计回归方程中的参数（

7、如最小二乘法）；⑤得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．　　建立起回归模型后，利用残差分析的方法来比较两个不同回归模型的拟合效果．其方法是：对于由给定的样本点而得到的两个回归方程和，分别计算两个回归方程的残差平方和与；若，则的效果比的好；反之，的效果不如的好．四、【问】上面主要研究了线性回归问题，那么如何用回归分析的方法对非线性回归问题进行统计分析呢？【答】对于非线性回归问