高考数学复习点拨 《椭圆》

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1、《椭圆》导学椭圆是我们生活中常见的一种曲线，如汽车油罐的横截面、太阳系中九大行星及其卫星运动的轨道、部分彗星的轨道等等都是椭圆形。研究椭圆的方程及其几何性质，可以帮助我们解决一些实际问题。椭圆是解析几何的重要内容，是高考常考的知识点之一。知识要点梳理1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于│F1F2│）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。问题一：对于椭园的定义我们应理解哪些内容：（1）椭圆的定义是据椭圆常见、常用的作图方法而得到的，它反映了椭圆的

2、本质属性，是建立标准方程和解决有关问题的根本依据，必须要深刻理解。建议初学的读者，利用课本中椭圆的画法，边画边体会、理解椭圆的定义。（2）在定义中要抓住关键字词：“两个定点”、“距离的和”、“常数”，弄清它们的确切含义。特别注意这个常数应大于两定点的距离（│F1F2│=2c），即2a＞2c。当2a=2c时，点的轨迹是两定点确定的线段F1F2；当2a＜2c时，点的轨迹不存在。（3）要注意利用椭圆的定义解题。与椭圆有关的一些问题，若根据题设条件，利用椭圆的定义来解，往往起到其它方法所不及的作用。2、如何联系椭圆的

3、标准方程理解几何性质？请读者利用类比的方法，将椭圆的两种标准方程、图形、及几何性质列一张表，然后，思考表中哪些是相同的？哪些是不同的？为什么？再认真阅读下面的说明。对标准方程及几何性质的几点说明：（1）牢记参数关系：中最大。（2）在两种标准方程表示的椭圆的几何性质中，凡是与坐标无关的性质（椭圆本身固有的性质）都是相同的。如长轴、短轴的长，焦距，离心率，椭圆的形状、大小等都是相同的。凡是与坐标有关的性质（由于坐标系选取的不同而得到的特殊性质）都是不同的。如焦点的坐标，顶点的坐标，标准方程，准线方程，椭圆的位置等

4、都是不同的。记忆时，将焦点在x轴上方程、坐标中的x换成y，y换成x即可。（2）标准方程中的常数a、b（a＞b＞0）决定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件，这是椭圆本身固有的性质，与坐标系的选取无关。（6）椭圆的顶点是它与对称轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上。椭圆的中心、焦点、短轴的端点，过这三点构成一个直角三角形，且以c、b为直角边，a为斜边，这是a、b、c的一个几何意义。（7）两焦点的位置决定了椭圆在坐标系中的位置，是椭圆的定位条件，与坐标系的选取有关。当焦点在x轴上时，椭圆是“平卧”的；当

5、焦点在y轴上时，椭圆是“直立”的。（8）椭圆的焦点一定在长轴上。观察两个标准方程，不难看出，当等号右边等于1时，若左边x2项的分母大于y2项的分母，则焦点在x轴上；若左边y2项的分母大于x2项的分母，则焦点在y轴上。即：焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大（是a2）；焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大（是a2）。简记为：“以分母大小定长（轴）短（轴）”。（9）求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法（待定系数法）。先定位，就是首先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点，看焦点在哪个坐标轴

6、上，再确定标准方程的形式；后定量，就是根据已知条件，通过解方程（组）等手段，确定a、b的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程。如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式:Ax2+By2=1(A＞0,B＞0,且A≠B)比较简单。（10）点P0（x0，y0）和椭圆的位置关系有：点P0（x0，y0）在椭圆上；点P0（x0，y0）在椭圆内；点P0（x0，y0）在椭圆外。