高考数学一轮复习 课时作业(七) 新课标

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1、课时作业(七)一、选择题1.函数y=x2-1(x≤0)的反函数是(  )A.y=(x≥-1)    B.y=-(x≥-1)C.y=(x≥0)D.y=-(x≥0)答案 B解析 ∵x≤0,∴x=-,且y≥-1,∴f-1(x)=-(x≥-1),故选B.2.(08·北京卷)“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 存在反函数的条件是一一对应,f(x)是R上的增函数,则必是一一对应,而一一对应的函数未

2、必是增函数,如f(x)=.故选B.3.(·全国卷Ⅱ,文)函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是(  )A.y=ex+1-1(x>0)B.y=ex-1+1(x>0)C.y=ex+1-1(x∈R)D.y=ex-1+1(x∈R)答案 D解析 由y=1+ln(x-1)(x>1),得ey-1=x-1,即x=ey-1+1,故所求反函数为y=ex-1+1(x∈R).4.点(p,q)在函数y=f(x)的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是(  )A.(p,f-1(p))    B.(f-1(q),q)C.(f-1(p),

3、p)D.(q,f-1(q))答案 D5.(09·上海春季高考)函数y=1+(-1≤x≤0)的反函数的图象是(  )答案 C解析 由-1≤x≤0得y=1+∈[1,2],因此函数y=1+(-1≤x≤0)的反函数的定义域是[1,2],值域是[-1,0],结合所给选项可知选C.(注:也可先求出该函数的反函数,然后结合选项确定答案.)6.(·江西卷,文)若函数y=的图象关于直线y=x对称,则a为(  )A.1B.-1C.±1D.任意实数答案 B解析 若函数y=f(x)=的图象关于直线y=x对称,则f(x)=f-1(x),易求得f

4、-1(x)=,故a=-1.7.函数y=的反函数(  )A.是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数B.是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数C.是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数D.是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数答案 C解析 函数与其反函数有相同的单调性和奇偶性,因此只须考查函数y=的奇偶性与单调性,易知此函数是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,∴应选C.8.已知方程f(x)=3-x仅有一解x1,方程f-1(x)=3-x仅有一解x2,则x1+x2的值为(  )A.2B.3C.4D.5答案 B解析 f(x)与y=3-

5、x的交点为(x1,3-x1).则f-1(x)与y=3-x的交点为(3-x1,x1).而由条件知f-1(x)与y=3-x交点为(x2,3-x2),因此x2=3-x1,故x1+x2=3.二、填空题9.(09·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx(x>0),求f(1)+g(1)=________.答案 2解析 令1+2lgx=1,得x=1,∴f(1)=1.又g(1)=1+2lg1=1,∴f(1)+g(1)=2.10.设函数y=4+log2(x-1)(x≥3),则其反函数的定义域为________.答

6、案 [5,+∞)解析 ∵x≥3,∴x-1≥2,∴log2(x-1)≥1,∴y=4+log2(x-1)≥5.11.(08·上海)若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2(x>0),则f(4)=________.答案 2解析 设x2=4,由x>0得x=2,由f(x)与f-1(x)的关系知f(4)=2.三、解答题12.给定实数a≠0且a≠1,设函数y=(x∈R且x≠),求证:(1)这个函数的图象自身关于直线y=x对称;(2)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x轴.思路点拨 (1)只要证明函数f(x)=f-1(

7、x)即可;对于(2)设x1≠x2,只要证明y1≠y2就说明经过任意两点的直线都不平行于x轴.解析 (1)由y=,得(ax-1)y=x-1,解得x=,y≠.所以函数y=(x≠)的反函数为y=(x≠).故函数的图象关于直线y=x对称.(2)设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函数图象上任意两个不同点,则x1≠x2,于是y1-y2=-.因为x1≠x2,a≠1,(ax1-1)(ax2-1)≠0,所以y1≠y2.因此经过图象上任意两点所在直线不平行于x轴.13.(·上海春季高考)已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>

8、0,且a≠1).(1)若函数f(x)=反函数是其本身,求a的值;(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.解析 (1)函数f(x)的反函数f-1(x)=log2(8-ax),由题意可得loga(8-2x)=log2(8-ax),∴a=2.(2)由题意可知8-2x>0,解得x<3则y=f(x)+f(-x)的定义域为(

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