高中数学典型例题分析与解答：等差数列的前n项和

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1、等差数列的前n项和【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得解得a1=113，d=－22．∴其通项公式为an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135∴a6=－22×6＋135＝3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出an而即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197

2、与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为an＝3n－1；第二个数列的通项为bN=5N－3若am＝bN，则有3n－1＝5N－3若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以N＝1，4，7，…，40n=1，6，11，…，66∴两数列相同项的和为2＋17＋32＋…＋197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为[]A．1，3，5　　B．1，3，7C．1，3，99　D．1，3，9又∵14＝5a

3、＋3b，∴a＝1，b＝3∴首项为1，公差为2∴a50=c=1＋(50－1)·2=99∴a＝1，b＝3，c＝99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13，求插入的数的个数．解依题意2＝1＋(2n＋2－1)d　　　　　　　　　　　　　　　　　①由①，有(2n＋1)d=1　　　　　　　　　⑤∴共插入10个数．【例5】在等差数列{an}中，设前m项和为Sm，前n项和为Sn，且Sm＝Sn，m≠n，求Sm+n．且Sm＝Sn，m≠n∴Sm+n＝0【例6】已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数

4、列｛

5、an

6、｝的前n项和Tn．d，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来．解方程组得：d＝－2，a1＝9∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11其余各项为负．数列{an}的前n项和为：∴当n≤5时，Tn＝－n2＋10n当n＞6时，Tn＝S5＋

7、Sn－S5

8、＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50说明根据数列{an}中项的符号，运用分类讨论思想可求｛

9、an

10、｝的前n项和．【例7】在等差数列{an}中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前和．解法一

11、由a6＋a9＋a12＋a15＝34得4a1＋38d＝34＝＋190d＝5(4a1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a6＋a15=a9＋a12＝a1＋a∴a1＋a7S70【例8】已知等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前和S．解法一设等差数列{an}的公差为d，则d＞0，由已知可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4再由d＞0，得d＝2∴a1=－10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S80解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方

12、程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列∴a3＝－6，a7=2【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若[]∵2a100＝a1＋a199，2b100＝b1＋b199解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件：Sn＝an2＋bn可设Sn＝2n2k，Tn＝n(3n＋1)k说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2＋bn，由k是常数，就不对了．【例10】解答下列各题：(1)已知：等差数列{an}中a2＝3，a6＝－17，求a9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并

13、且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S(4)已知：等差数列{an}中，an=33－3n，求Sn的最大值．分析与解答a9=a6＋(9－6)d=－17＋3×(－5)=－32(2)a1=19，an+2=89，Sn+2＝1350(3)∵a4＋a6＋a15＋a17=50又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25(4)∵an=33－3n∴a1＝30∵n∈N，∴当n=10或n=11时，Sn取最大值165．【例11】求证：前n项和为4n2＋3n的数列是