高中数学奥林匹克竞赛训练题（31）

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1、高中数学奥林匹克竞赛训练题（31）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题31)方程实根的个数是(B)．(A)0(B)1(C)2(D)无穷多2．(训练题31)已知正方体的棱长为1，点关于直线、的对称点分别为、，则、两点间的距离是(A)．(A)(B)(C)(D)3．(训练题31)已知．则的值等于(A)．(A)1(B)(C)(D)4．(训练题31)设．则的展开式是(C)．(A)(B)(C)(D)5．(训练题31)在圆内，过点恰有条弦的长度成等差数列．如果公差，那么，取值的集合是(D)．(A){4，

2、5，6}(B){6，7，8，9}(C){3，4，5}(D){3，4，5，6}6．(训练题31)给定平面内的五个点任意三点不共线，由这些点连成4条线段，每个点至少是一条线段的端点，则不同的连结方式有(D)．(A)1(B)125种(C)130种(D)135种二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题31)函数的递增区间是．2．(训练题31)已知四面体的体积为，为棱的中点，延长到，使，设过三点的平面交于，则四面体的体积是．3．(训练题31)满足的锐角=．4．(训练题31)设是集合的含有3个元素的所有子集的元

3、素之和，且．则极坐标方程表示的曲线是，双曲线的右支．5．(训练题31)已知A、B、C是平面上任意三点，且．则的最小值是．6．(训练题31)如图，有矩形中，已知．以边为长轴作椭圆，的短轴长等于．在上任取一点（不同于长、短轴的端点）．设直线于的交点分别为．则．三、(训练题31)(本题满分设为正整数．求证：．四、(训练题31)(本题满分在数列中，．求的表达式．五、(训练题31)(本题满分经过点作抛物线的四条弦，且四点的纵坐标成等差数列．求证：．第二试一、(训练题31)(本题满分50分)设为斜边上的高，分别是的内心。求

4、证：的外接圆半径与的内切圆半径相等．二、(训练题31)(本题满分50分)设和分别表示整数的最大公约数和最小公倍数．求满足的所有整正数解．三、(训练题31)(本题满分50分)如图，的三条内线段交于点．用红、兰两种颜色对的三条边线和三条内线段染色，是同色的三线不交于一点．证明：在途中所有的三角形中，至少存在两个同色三角形,且它的各边或延长线被另一线截得的两线段之比的和大于3．