高考之含参数不等式恒成立问题

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1、高考含参数的不等式恒成立问题恒成立问题即：。在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现含参数不等式恒成立问题，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想、分类讨论思想，是高考热点题型之一。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1转换主元首先确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法常适用于化为一次函数。对于一次函数有：例1：若不等式2x－1>m(x2-1)对满足－2m2的所有m都成立，求x的取值范围。分析：注意题目条件给出信息，“对满足－2m2的所有m都成立”确定主元为m。构造出关于m的一

2、次函数解：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)(－2m2)根据题意有：即：解之：得x的取值范围为例2：安徽08文科（设函数为实数。（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。本题第二问可以采用这种方法分析：注意题目条件给出信息，“对任意都成立”确定主元为a。构造出关于a的一次函数(2)由题设知：对任意都成立即对任意都成立设,则对任意，为单调递增函数所以对任意，恒成立的充分必要条件是即，于是的取值范围是2化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根

3、分布等相关知识，求出参数取值范围。对于一元二次函数有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例3：在R上定义运算：xy＝(1－y)若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则()(A)－10对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足化简得4a2-4a-3<0解得,故选择C。例4：已知向量=(x2,x+1),=(1-x,t)若函数f(x)＝·在区间(－

4、1，1)上是增函数，求t的取值范围。解：依题意，f(x)＝x2(1-x)+(x+1)t=-x3+x2+tx+t则f＇(x)=-3x2+2x+t∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有f＇(x)0即-3x2+2x+t0在x(-1，1)上恒成立设g(x)=3x2-2x∴tg(-1)即t5例5：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。分析：根据条件得出二次不等式对某个区间上的x恒成立，可借助二次函数在这个区间上的的最值求解。也可考虑下面第三种方法（分离参数法）解：设f(x)=x2-2mx+2m+

5、1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解得1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值解得m>1综合(1)(2)(3)得注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解，可避免较复杂的分类讨论。3分离参数法在题目中较容易分离出参数，化成a>f(x)（afma

6、x(x)（a

7、单调区间和极值。（2）若函数在[1，4]上是减函数，求实数的取值范围。本题第二问采用这种方法：解:（2）由得8分又函数为[1，4]上的单调减函数。则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立，即在[1，4]上恒成立。10分设，显然在[1，4]上为减函数，所以的最小值为K=1的取值范围是12分4.数型结合法例8：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是分析：本题目可转化为在同一坐标系中研究y1=,y2=kx的图像的位置关系解：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出0k1例9：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-

8、ax<恒成立，则a的取值范围分析：本题目可转化为在同一坐标系中研究y1=ax,y2=x2-，对x(-1，1)的图像的位置关系1解析：不等