高考数学复习点拨 线与面平行与垂直问题例析

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1、线与面平行与垂直问题例析两个平面平行与垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决．一、线与面平行关系转化一般来说，线线或面面平行关系都可以转化为线面平行关系来分析解决，其关系如下表所示：线线平行线面平行面面平行．CDABDCABNFGEM例1如图：已知正方体ABCD—ABCD中，面对角线AB，BC上分别有两点E、F，且BE=CF．求证：⑴EF∥平面ABCD；⑵平面ACD∥平面ABC．⑴证明：过E、F分

2、别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN，∵BB⊥平面ABCD，∴BB⊥AB，BB⊥BC，∴EM∥BB，FN∥BB，∴EM∥FN．∵AB=BC，BE=CF，∴AE=BF，又∠BAB=∠CBC=45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN．CDABDCAB∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．⑵证明：如图∵正方体ABCD—ACD中，AD∥BC，CD∥BA，又ADCD=D，BCBA=B，∴平面ACD∥平面ABC．说明：较低一级的位置关

3、系，判定着较高一级的位置关系，如线线平行线面平行面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行线面平行线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证题中的主要思维指向．二、线与面垂直关系转化线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题和求解问题．例2如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，求证：⑴DE=DA；⑵平面BDM⊥平面

4、ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA．EBADFMCN分析：⑴要证明DE=DA，只须证明Rt△DFE≌Rt△DBA；⑵注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；⑶仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．证明：⑴如图，取EC的中点F，连接DF，∵EC⊥BC，易知DF∥BC，∴DF⊥EC．在Rt△DFE和Rt△DBA中，∵EF=EC=BD，FD=BC=AB，∴Rt△DFE≌Rt△DBA，故DE=DA．⑵取CA的中点N，连接MN、BN，则MNEC

5、，∴MN∥BD，即N点在平面BDM内，∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC，又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA，∵BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA．⑶∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA，又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直转化途径进行．ABDCCDABMN一、创设辅助线与面如

6、果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或辅助面是面是促进转化的重要环节．例3正方体ABCD—ABCD中，M、N分别是对角线AB、BC上两点，且=，求证：MN∥平面ABCD．分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：⑴由“面面平行线面平行”去证．ABDCCDABMKN在面AB内，作MK∥AB，交BB于K点，连接KN

7、，由平行线截割定理知=，而=已知），∴=，则KN∥BC，∴平面MKN∥平面ABCD，即平面MKN平面ABCD=，而MN平面MKN，∴MN∥平面ABCD．⑵添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证．ABDCCDABNM连接BM并延长交AB于P点，连接PC，则可证△BMP∽△AMB，∴=，而=（已知），∴=，由平行截割定理得：MN∥PC，而PC平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断．