数学建模思想在中学数学中的应用

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1、数学建模思想在中学数学中的应用数学建模思想在中学数学中的应用　　数学建模在中学数学教学和解题中也有着非常重要的作用。因此，利用建立数学模型解决问题的数学建模教学从国外到国内，从大学到中学，越来越成为数学教育改革的一个热点。中学阶段数学建模教学有它的特殊性，在中学阶段，学生建模能力的形成是基础知识基本技能、基本数学方法训练的一种综合效果，建模能力的培养主要是打基础，但是，过分强调基础会导致基础与实际应用的分裂。如何把握分寸是一个值得探讨的问题，同时也是我们教学的一个难点。该文对数学建模在中学数学中的应用进行了深入研究，探讨了数学建模在培养学生能力和中学数学解题中的

2、应用。　　一、理论概述　　1.数学模型定义　　数学模型就是用数学语言和方法对各种实际对象作出抽象或模拟而形成的一种数学结构。广义上的数学模型就是从现实世界中抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似反映。狭义上的数学模型就是将具体问题的基本属性抽象出来成为数学机构的一种近似反映。数学模型有两种基本功能：统一功能和普适性功能。　　2.数学模型的分类　　1）按模型的来源不同，可以分为：理论模型和经验模型。　　2）按研究对象所在领域，可以分为：经济模型、生态模型、人口模型、交通模型等。　　3）按建立模型所使用的数学工具，可以分为：函数模型、方程模型、三角模型、几何模

3、型、概率模型等。　　4）按对研究对象的内部机构和性能的了解程度，可以分为：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。　　5）按模型的功能，可以分为：描述性数学模型和解释性数学模型。　　二、数学建模思想在中学数学解题中的应用案例　　数学建模几乎贯穿于整个中小学数学学习过程本文由论文联盟.L.cOm收集整理，小学数学的解算术应用题；中学数学的列方程解应用题；建立函数表达式及解析几何里的轨迹等都蕴含着建模思想方法。　　例1.解方程组[x+y+z=1]（1）　　[x2+y2+z2=1/3]（2）　　[x3+y3+z3=1/9]（3）　　分析：本题若用常规方法求，相当复杂。仔细观察题

4、设条件，挖掘隐含信息，联想各种知识，即可构造各种等价数学模型来解决。　　1.方程模型　　方程（1）表示三根之和，由（1）、（2）不难得到两两之积的和[xy+yz+zx=1/3]再由（3）又可得三根之积[xyz=1/27]，由韦达定理，可构造如下三次方程模型，[x，y，z]恰好是其三个根　　[t3-t2+t/3-1/27=0]（4）　　方程（4）的三重根为[t=1/3]，所以方程组的解为：　　[x=y=z=1/3]　　2.函数模型　　观察（1）与（2）两边的特征及联系，若以[2（x+y+z）]为一次项系数，[（x2+y2+z2）]为常数项，则以[3=（12+12+

5、12）]为二次项系数的二次函数：　　[f（t）=（12+12+12）t2-2（x+y+z）t+（x2+y2+z2）]（5）　　为完全平方函数[3（t-1/3）2]。又根据（5）的特征有：　　[f（t）=（t-x）2+（t-y）2+（t-z）2]　　从而有[t-x=t-y=t-z]，即x=y=z，再又由（1）得：[x=y=z=1/3]，这是（1）、（2）的唯一实数解，它也适合（3），故[x=y=z=1/3]是原方程组的唯一实数解。　　3.几何模型　　例2.求函数[y=x2+9+（5-x）2+4]的最小值。　　分析：根据函数表达式的形式上的特征，联想到平面直角坐标系

6、中的两点间的距离公式，如果我们将函数表达式改写为：　　[y=（x-0）2+（0+3）2+（5-x）2+（2-0）2]。　　那么[y]就是动点[P（x，0）]与两点[A（0，3），B（5，2）]的距离的和，这样我们就构造了一个几何模型。　　图（1）　　如图（1），在这个模型中，求函数[y]的最小值转化为在[x]轴上求一点[P（x，0）]使得[PA+PB]取得最小值.　　易知当[P，A，B]三点共线时，　　[（PA+PB）min=AB=（5-0）2+（2+3）2=52]