杨辉三角在日常生活中的有趣应用

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1、杨辉三角在日常生活中的有趣应用[摘要]中国古代数学史曾经有代写论文自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉三角是中国古代数学家贾宪在公元11世纪发现，并被南宋数学家杨辉在他的书中所引述，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。　　[关键词]杨辉三角趣味性日常生活　　　　杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。杨辉三角形所蕴含的数字排列规律，让我们在感受数学美的同时，也体会到它的趣味性和实用性。下面就通过三个实例与读者共享。　　例1.随着经济的

2、快速发展，越来越多的人加入炒股大军。股票的涨停问题也成为人们的重要谈资。有一天，同事谈到股票涨停时，提出一个问题：要经过几次涨停，股资才能翻一倍？大家知道，股票涨停一次，股资增加了原来的百分之十。构建一个模型：设原来股资为a元，一次涨停后，股资变成a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次涨停后，股资变成1.1a+10%×1.1a=1.12a；　　　　如此递推，当n(n∈z+)次涨停后，股资变成1.1na元。要经过几次涨停，股资才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：1.1na＞2a，即1.1n＞2。那么，最小正

3、整数n是多少？简单推算：1.11=1.1，1.12=1.21，1.13=1.331，……手边没有计算器，再算下去就有一点复杂了。但观察结果的数字，惊奇的发现前三个的结果与杨辉三角相对应。如图1　　　　是否1.14=1.4641呢？结果与计算相同。但当n=5时，出现了两位数的情形，怎么解决？能不能像加法运算一样进位加一变成1.61051呢？经过验算猜想与答案完全一致。这样求最小正整数n的运算就可以通过观察得到。当n=8时，1.18＞2。也就是经过8次涨停后，股资翻倍。　　例2.在游戏场所经常可以看到这样的弹球游戏

4、：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能的向两侧跌落。碰到第二层阻挡物再等可能的向两侧的第三层跌落。如此下去，小球一直跌到容器底层，根据具体区域获得相应奖品。可以发现，在两端区域的奖品价值远远高于中间区域，怎样解释这一现象呢？下图是一个竖直平面内的弹球游戏，图中的竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相通，若竖直线段有一条的为第一层，有两层的为第二层……以此类推，现求有一颗小球从第一层的通道向下运动跌落到第n+1层第m个通道里的概率。通过观察可以发现，小球落入第1层第1个通道有1种可能，落入第2个通道也有1种可能。

5、小球落入第2层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有2种可能，落入第3个通道有1种可能。落入第3层第1个通道有1种可能，落入第2个通道有3种可能，落入第3个通道有3种可能，落入第4个通道有1种可能……各个通道上的数字如图2所示：　　通过观察，各个通道上的数字与杨辉三角形完全一致，由此可以得出第n+1层所有可能有C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn=2n种。因此小球从第一层的通道向下运动跌落到第n+1层第m个通道里的概率为Cm-1n2n。这样就很清楚的观察到越靠近中间区域小球落入的可能性越大，

6、而两端落入小球的可能性最小。　　例3.2008年北京奥运会日益临近，各个场馆的门票预售也已经开始。为了节省时间，观众总想找到从一个场馆到达另一个场馆的最短路径。假设两个奥运场馆的分布如图3所示：Q代表场馆1，P代表场馆2。网线表示北京比赛区域的交通道路，每个方格内均表示建筑物。则由Q到P的最短路径有多少条？由右图可以观察到：由Q到A或由Q到B只有一条最短路径，即Q→A或Q→B，由Q到C有2条最短路径，即Q→A→C或Q→B→C。综合上述分析，问题已经形成杨辉三角的初形。如此递推，可以写出右图所示的“数塔”。这样根据数字排列

7、规律很容易的得到由Q到P的最短路径有35条。　　假如虚线框内的一段街道水管突然断裂，导致此路段不能通行，则由Q到P的最短路径有多少条？根据杨辉三角数字排列规律，如图4所示，最短路径有13条。　　随着北京城市建设的快速发展，各种生活配套设施日益完备，行人出行的方式已经不仅仅是简单的平面路径了，而是发展成由立交桥，地铁等构建而成的立体交通网络。假设一名观众正处于图5所示的立体交通网络中，他由P到Q有多少种不同走法？　　　　首先，构建一个由m3(m∈Z+)个大小相同的小正方体拼成一个大正方体表示一个超级立体交通网络（如图6

8、）。　　　　在图6中分别过点A11A12A13、A21A22A23、……作与QO垂直的截面，在这些截面上，网络交叉点的个数恰好为1+2，1+2+3，1+2+3+4，……，这也恰恰分别是（a+b+c）1，(a+b+c)2，(a+b+c)3，……的展开式的项数。在每个交叉点上标上该点到Q点的不同走法的种数。这样，在