数学高考复习专题16

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1、专题16等差与等比数列（李明）等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。☆考纲要求：掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式，前几项和公式并能运用知识解决一些问题。☆知识结构与要点：定义通项—等差中项abc成等差基本概念推广前n项和等差数列当d>0(<0)时{为递增（减）数列当d=0时为常数

2、基本性质与首末两端等距离的项之和均相等中共成等差则也成等差定义:通项等比中项：abc成等比数列基本概念推广前n项和等比数列与首末两端等距离的两项之积相等成等比，若成等差则成等比基本性质当或时{为递增数列当或时{为递减数列当q<0时{为摆动数列当q=1时{为常数数列☆等差、等比数列的性质推广☆典型例题例1．在等差数列中求解法一那么解法二：由点评：在等差数列中，由条件不能具体求出和d，但可以求出与d的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出（2）利用：将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用和d表示更简

3、捷。例2．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为解法一用方程的思想，由条件知①②也成等数列由②Χ2-①得代入解：在等差数列中由性质知成等差数列解法三等差数列中即为以为首项公差为的等差数列依题意条件知成等差点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。例3在等比数列中求分析：在等比数列中对于五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，因此解法一又则解法二:而代入中得故点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用

4、解法二更为简捷。例4．在等差数列中等比数列中则解：点评：此题也可以把和d看成两个未知数，通过列方程，联立解之d=。再求出但计算较繁，运用计算较为方便。例5．设等差数列前n项和为已知（1）求公差d的范围（2）指出中哪一个值最大，并说明理由解：（1）由题义有由则代入上式有(2)d<0所以最小时最大当时所以当n=6时最小故最大点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随N增大而变化规律的方法与判断函数增减性的方法相同。例6已知a>0数列是首项5元比都为a的等比数列，(n如果数列中每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。解：由已知有

5、所以因此由题意对任意成立即即对任总成立，由知那么由a>0知或即（Ⅰ）或（Ⅱ）由Ⅰ知a>1中Ⅱ为递增的函数所以故a的取值范围为或a>1点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数的单调性，具有一定的综合性例7已知数列的前n项和为，又有数列它们满足关系b1=a1对于有求证是等比数列证明：那么或即又由可得设对均成立因此是等比数列点评：证明数列为等比数列一定要根据定义来证明，大要注意n的取值范围如不不包n=1的值，还需验证对n=1也要成立。☆高考精选1．（97全国高考）设是等差数

6、列的前n项和，已知与的等比中项为与的等差中项为1，求等差数列的同项解：由已知列出方程组将与d代入得解得或或经验证或均满足题意故为所求通项。点评，以上为常规思路也可根据为等差数列从而求出解三。2．（96全国高考）设等比数列前n项和为若求数列的公比q解：为q=1时虽然与题设矛盾当时3．（95全国高考）设是由正数组成等比数列是具前n项的和证明分析：只要能比较出与的大小问题得以解决证明：设等比数列的首项为公比当时当时即☆疑难解析1．问：等差数列与等比数列的相同与不同之处是什么？答：等差与等比是两类特殊数列，两类数列的“交”是非零常数列。它的不同之处，

7、等差数列中项存在唯一，而等比数列的中项是有条件限制的且昔存在也不唯一，等差数列的前项和当时，是一个唯一确定的关于n的二次函数，等比数列的前n项和公式是对q类给出的应用，这个公式时要注意讨论q是否取“1”2．问等差数列的前n项和是关于n的二次函数，在求最值时应注意什么？答：①由于自变量为自然数而的自变量取值范围为实数所以在求最值时要取离对称轴最近的点为最值点②若的对称轴则都是的最值此时而必为

8、

9、的最小值3．问在等比数列中若m+n=p+q则此性质需注意些什么？答：一是要考虑作积各项的下标和是否相等或为整数倍以及各项的项数是否符合性质要求，二是要注

10、意舍去增根，三是可推广为若m+n=2k(m,nkN)则如已知等比数列中求解：故有解得或-5由于所以-5应舍去即☆过关检测一．选择题1．在等差数列中则()A．3B．4