函数概念的“源”与“流

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1、函数概念的“源”与“流函数概念的“源”与“流1.1函数概念的“源”马克思曾经认为，函数概念于代数学中的不定方程的研究，由于罗马时代丢番图对不定方程已有相当的研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自转和公转，那么下降物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上？行星运行的轨道是椭圆，原理是什么？还有，研究在地球表面上抛射物体和路线、射程的影响问题，既是科学家力图解决的问题，也是军事家要求解决的问

2、题。函数概念就是从这些运动研究中引申出来的一个数学概念。在伽利略的力学著作《两门新科学》中用文字语言叙述了一些函数关系。如：“从静止开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”。“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑时间与平板的长度成正比”。[5]等等这些叙述只需引进适当的数学符号就可表示为简洁、明确的数学关系，这些文字语言是早期函数概念的雏形。17世纪上半叶，笛卡尔把变量引入数学，他指出了平面上的点与其数对之间的对应关系。当动点作曲线运动时，它的坐标和坐标相互依赖并同时发生

3、变化，其关系可由包含的方程式给出。相应的方程式就揭示了变量和y之间的关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。从现存文献中可知，最早提出函数概念的，是17世纪德国数学家莱布尼兹。于1673年他用“函数”一词表示幂，如都叫函数。随后在他的一部手稿里，他又用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量——例如：切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等。[6]莱布尼兹的函数概念使用范围狭窄，后续的数学家在此基础上做了

4、许多扩展工作。1698年，莱布尼兹的学生，瑞士数学家约翰、伯努力提出新的函数概念：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数。”[7]1718年他又进一步规范了这一定义：“一个变量的函数指由这个变量和常数任意一种方式构成的一个量。”[8]伯努力所强调的是函数要用公式表示。后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式表达上，只要一些变量变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式表示就不作为判别函数的标准。1734年，瑞士另一数学家欧拉，首次使用了符号表示变量数，他的例子是，后人据此发明了表示变量x的函数值。

5、[9]1755年，欧拉在其论著中把函数定义为：“如果某些变量以某种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些变量是后一些量的函数。”在此定义中，就不强调要用公式表示了，由于函数不一定要用公式表示，欧拉曾把画在坐标系里的曲线叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”1797，法国数学家拉格朗日，从分析学的角度对函数概念做了扩展：“所谓一个或几个变量的函数是任意一个适合于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中。”无独有偶，1822年法国另一个数学家傅里叶，在他的名著《热的解析

6、理论》中定义为：“通常函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的毎一个都是任意的……我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书里，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数。[10]证明在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了。19世纪是数学大发展的时代，除了创立大批新的数学分支和分析基础严密是其显著特色。数学家他们在考虑巩固数学基础的同时，对函数概念“发散”状况也做了种种规范，主要是突出了变量与对应关系。1823年，法国另一数学家柯

7、西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变量间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其它变量的值可随着而确定时，则将最初的变量叫自变量，其它各变量叫做函数，在柯西的定义中，首次出现了自变量一词。1834俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样一个数，它对于毎一个x都有确定的值。并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系，可以求出毎一个x的对应值。1

8、837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的任何一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需一个法则存在，使得这个函数取值范围中的任何一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其它形式。这个定义比前面的定义更具有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便，因此这个定