平面区域划分的探究

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1、平面区域划分的探究 江都市职教集团金小奎一.引题 如图,一条直线3x+2y-4=0将整个平面分成三部分,一个是直线本身,另一个是直线的右上部分,还有一个是直线的左下部分.而且容易判断,直线左下部分即为不等式3x+2y-4<0所表示的平面区域,而直线右上部分即为不等式3x+2y-4>0所表示的平面区域.也就是说再平面直角坐标系中,Ax+By+C>0或者Ax+By+C<0(A,B不同时为0)表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 二.联想拓展 一个圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),也将整个

2、平面分成三部分.一个圆本身,一个是圆的内部,还有一个是圆的外部.那是否也可以用一个不等式来表示圆的内部区域和外面区域呢?我们不妨设点P(x0,y0)为圆内一点,则点P到圆心(a,b)的距离d小于半径r.即0)内部.同样容易推导出,圆的外部区域可以用不等式(x−a)2+(y−b)2>r2来表示了.也就是说若点P(x0,y0)满足(x

3、0−a)2+(y0−b)2>r2,则点P(x0,y0)必在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外部. 三.类比拓展 和圆类似,椭圆(a>b>0)也是一个封闭的图形,它同样将整个平面分成三部分.一个是椭圆本身,一个是椭圆的内部,还有一个就是椭圆的外面.那是否可以像圆一样用一个不等式来表示椭圆的内部和外部呢? 在这里我们先取椭圆内的一个特殊点,比如说椭圆的中心,也就是原点(0,0),将其代入中,得到1,可以猜测是不是满足<1(a>b>0)的点P(x0,y0)都在椭圆的内部呢? 我们来简单证明一下: (1)若>

4、a,则>1,不符要求 (2)若=a,则=1,≥1,不符要求. (3)若0)在椭圆上,则<1,=1,由这两式可得<,也就是b>0),则P点必定在椭圆=1(a>b>0)内部. 同样可以得到下列结论:点P(x0,y0)满足>1(a>b>0),则P点必定在椭圆=1(a>b>0)外部 例:已知椭圆=1,直线(4k+3)x-(

5、k+5)y-15k-7=0,求证:直线和椭圆必定有两个不同的交点. 分析:这类问题通常是两个方程联立为方程组,在证明方程组有两组不同的解来说明有两个不同格的交点,但利用上面的结论就可以很容易的解决问题. 证明:直线(4k+3)x-(k+5)y-15k-7=0变形为 (4x-y-15)k+(3x-5y-7)=0 直线过定点(4,1)又因为<1,即定点(4,1)在椭圆内部,所以直线必然和椭圆有两个不同的交点 四.圆锥曲线的扩展 可以看到在圆和椭圆这两个封闭图形的平面区域划分时,可以用与它们相关的不等式来表示不同的区域

6、,那么对于另外两条非封闭图形双曲线和抛物线是否也可以用类似的不等式来表示不同的区域呢?这里我们以双曲线为例.如图=1(a>0,b>0)将平面分成了三类,一类是双曲线本身,一类是双曲线两分支中间的部分,还有一部分是双分支之外的一部分,我们也从双曲线两分支中间的部分中取一特殊点(0,0),可以看到<1,同样可以猜测是不是满足<1(a>0,b>0)的点P(x0,y0)都在双曲线两分支之间呢. 证明:(1)若a,则必有两点(x0,y1),

7、(x0,-y1)(y1>0)在双曲线上,则<1,=1,由这两式可得>,也就是>y1,也就是说点P(x0,y0)必定在(x0,y1)的上方或者(x0,-y1)的下方,也就是P点必定在双曲线两分支之间. (3)若=a,此时=1,<1成立的条件就是y0≠0,即点P不是双曲线的两个顶点,此时点P也在双曲线两分支之间. 综上所述:点P(x0,y0)满足<1(a>0,b>0),则点P必定在双曲线=1两分支之间 同样也容易得到下列结论:点P(x0,y0)满足>1(a>0,b>0),则点P必定在双曲线=1两分支之外. 对于抛物线

8、所划分的区域可以用类似的方法求得表示的方法,这里就不在赘述了.