寒假专题——三角形中的常用辅助线

寒假专题——三角形中的常用辅助线

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时间:2018-05-12

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1、课程解读一、学习目标:归纳、掌握三角形中的常见辅助线二、重点、难点:1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。三、考点分析:全等三角形是初中数学中的重要内容之一,是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL,如果所给条件充足,则可直接根据相应的公理证明,但是如果给出的条件不全,就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析,先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了。

2、典型例题人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法:(1)可以从结论出发,寻找要证明的相等的两条线段(或两个角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;(3)可从条件和结论综合考虑,看它们能确定哪两个三角形全等;(4)若上述方法均不可行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法:①延长中线构造全等三角形;②利用翻折,构造全等三角形;③引平行线构造全等三角形;④作连线构造等腰三角形。

3、常见辅助线的作法有以下几种:(1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。例1:如图,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证:BD=2CE。思路分析:1)题意分析:本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2)解题思路:要求证BD=2CE,可用加倍法,延长短边,又因为有BD平分∠ABC的条件,可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程:证明:延长BA,CE交于点F,在ΔBEF和ΔBEC中,∵∠1=∠2,BE=

4、BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。解题后的思考:等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力,而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系,为同学们开拓了一个广阔的探索空间;并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想,它是解决问题的关键。(2)若遇到三角形的中线,可倍长中线,使

5、延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2:如图,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线。求证:ΔABC是等腰三角形。思路分析:1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2)解题思路:在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件,一般这些条件都是解题的突破口,本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件,而且要求证AB=AC,可倍长AD得全等三角形,从而问题得证。解答过程:证明:延长AD到E,使DE=AD,连接BE。又因为AD是BC边上的中线,∴BD

6、=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,∵AD是∠BAC的平分线∴∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形。解题后的思考:题目中如果出现了三角形的中线,常加倍延长此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形。(3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3:已知,如图,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD。求证:∠B+∠ADC=180°。思路分析:1)题意分析:本题

7、考查角平分线定理的应用。2)解题思路:因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题。解答过程:证明:作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F。∵AC平分∠BAD,∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中,∵CE=CF,CB=CD,∴Rt△CBE≌Rt△CDF,∴∠B=∠CDF,∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B+∠ADC=180°。解题后的思考:①关于角平行线的问题,常用两种辅助线;②见中点即联想到中位线。(4)过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等

8、变换中的“平移”或“翻转折叠”例4:如图,ΔABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于D,若EB=CF。求证:DE=DF。思路分析:1)题意分析:本题考查全等三

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