数学专业毕业论文----n阶矩阵的幂运算

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1、本科毕业论文本科毕业论文n阶矩阵的幂运算Thepoweroperationofn-ordermatrix学院：数学与计算机学院项目组成员：自己姓名指导教师：老师姓名专业：数学专业年级（班级）：起止日期：制表日期：年月日13本科毕业论文摘要：一个阶矩阵的幂运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，为阶矩阵的幂运算提供一个参照。关键词：矩阵的幂；相似矩阵；分块矩阵；标准

2、形；最小多项式；特殊矩阵；图论算法Abstract：Thepoweroperationofan-ordermatrixisafundamentaloperationinmatrixtheory.Whenthegivenmatrixhasahighorderwhichwillleadtoacomplexoperation.Onthisquestion,thispaperwillintroducemanymethodstofindthesolutionofhighordermatrixcombinewithsomelivingexampl

3、es,suchasmathematicalinduction,multiplicationlawofassociation,binomialexpansionmethod,blockdiagonalmatrix,Jordanstandardform,minimumpolynomialsmethodandspecialmatrixwhichofferareferencetothepoweroperationofn-ordermatrix.Keywords：Thepowerofmatrix；similarmatrix；partitioni

4、ngofmatrix;Jordanstandardform;minimumpolynomials;specialmatrix;algorithmofgraphtheory13本科毕业论文目录引言11预备知识11.1矩阵的幂的概念及其运算律12阶矩阵的高次幂的若干算法及应用举例12.1利用数学归纳法求解方阵高次幂12.2利用二项式展开法求解方阵高次幂22.3利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂32.4利用分块对角矩阵求解方阵高次幂42.5利用标准形求解方阵高次幂52.6用最小多项式法求解方阵高次幂62.7特殊矩阵法求解方阵高次幂72.7.1

5、对合矩阵72.7.2幂等矩阵82.8利用图论算法求解方阵高次幂92.8.1邻接矩阵92.8.2的元素的意义93结束语10参考文献12致谢1313本科毕业论文引言矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在

6、此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的阶矩阵可采用标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。诸方法为阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。1预备知识1.1矩阵的幂的概念及其运算律在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵

7、为方阵时，可以定义矩阵与它自身的乘法运算，即矩阵的幂。定义（矩阵的幂）[1]设是矩阵（阶方阵），是正整数，则称为的次幂。由方阵的幂的定义，显然有以下运算律：；；；；，其中，为非负整数。2阶矩阵的高次幂的若干算法及应用举例2.1利用数学归纳法求解方阵高次幂该方法的思路是通过计算，等，从中发现的元素的规律，再用数学归纳法证明。13本科毕业论文例1已知矩阵，试求（为自然数）．解：可求得,,观察这些矩阵的规律可以看到,的第1行元素是展开式的三项元素,而的第1行元素是展开式的前三项，由此推测，的第1行元素应该是的展开式的前三项元素，，，．现假设

8、，显然当时是成立的；则，即时结论也成立，故由归纳假设法知上述结论正确．2.2利用二项式展开法求解方阵高次幂若阶矩阵可分解为,且矩阵与的高次幂容易计算，（即与可交换，否则二项展开公式不成立），则有．特别：若阶矩阵的主对角上