悬臂梁的弯曲变形

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1、本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。   设梁的跨度为l，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。   首先讨论梁的弯曲应力。    对于悬臂梁，建立坐标系如图所示。则梁的边界条件为    该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。   根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的条件

2、。此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。   固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。 因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x)，即力矩与(l-x)成正比，根据应力函数的性质，设应力函数为其中f(y)为y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得即，积分可得               由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为   将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量

3、返回   将上述应力分量代入面力边界条件，可以确定待定系数。   在上下边界，自动满足。而，则要求   在x=l边界上，自动满足。而，则要求联立求解上述三式，可得   注意到对于图示薄板梁，其惯性矩。所以应力分量为所得应力分量与材料力学解完全相同。   当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足边界条件，再根据实际情况进行修正。返回   应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。   将应力分量代入几何方程和物理方程，可得对于上述公式的前两式分别对x，y积分，可得其中f（y），g（x）分别为y，

4、x的待定函数。将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得   由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以   上式的前两式分别作积分，可得将上式回代位移表达式，则其中m，n，c，d为待定常数，将由位移边界条件确定。显然，上述位移不可能满足位移边界条件x=0，u=v=0。悬臂梁左端完全固定的约束条件太强了，要严格满足非常困难。对于工程构件，端面完全固定仅仅是一种假设，真实的端面约束条件是非常复杂的。   在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。根据

5、圣维南原理，真实约束条件对于悬臂梁位移分析的影响主要是端面附近的位移，对于远离端面处，这个影响主要是刚体位移。因此首先排除刚体位移，平面问题只要有三个约束条件就足够了。至于选用的约束条件与实际约束的差别，将在本节最后讨论。   为此首先假定左端截面的形心不能移动，即   当x=y=0，                            u=v=0代入位移表达式，可得c=d=0   为了确定m和n，除了利用位移边界条件，还必须补充一个限制刚体转动的条件。   分别考虑两种情况：一是左端面形心处的水平微分线段被固定；二是左端面形心处的垂直

6、微分线段固定。 对于第一种情况，即增加约束条件由此条件，可得对应的位移为   悬臂梁变形后的挠曲线方程为   这一结果与材料力学的解答完全相同。这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示。其表达式为在左端面的形心，垂直微分线段将产生转动，转角为对于第二种情况，即增加约束条件由此条件，可得对应的位移为梁变形后的挠曲线方程为   这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示。其表达式为在左端面的形心水平微分线段将产生转动，转角为   比较上述结果可见，假设的两种情况实际上仅相差一个刚体转动。如果让第一种情况顺时针转动一个角度，即为第二种情况。