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1、《线性代数》期末复习要点第一章n阶行列式题型：填空1．练习册：一、6解：因为，所以符号为正。2．（类似）4阶行列式，中含有的项的符号-------解：因为，所以符号为正。计算3．三、4（类型相似，但是主对角线上的元素有变化）将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得第二章矩阵理论题型：填空1．练习册：一、9（
2、A
3、
4、B
5、换数）解：相似题：2．设A、B是3阶方阵，且
6、A
7、=2,
8、B
9、=3,则=3.已知A,B为4阶方阵，且，则：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)4.设，都是n阶方阵，且
10、
11、＝－2，，则5．练习册：二、1（类似
12、）因为，所以c23=106．练习册：三、7（只求A的逆阵）解：由A2-A-2E=O得：A2-A=2E,即A(A-E)=2E,,则且.7．（类似）已知3阶初等阵，A是3阶方阵，则A相当于对A作的（）初等变换。（见教材P52定理2.7）相似题：8.设三阶方阵则第一列与第二列互换位置.9.设三阶方阵则第二列与第三列互换位置.10．设4阶可逆阵A的行列式
13、A
14、=3，则
15、A*
16、=（
17、A
18、=？可能要变数）选择：11.设A，B是可逆矩阵，则=计算：12.练习册：三、8（类似）解:AB+E=A2-B,(A+E)B=A2-E,因为
19、A+E
20、=-7¹0,所以
21、A+E可逆,所以B=(A+E)-1(A2-E)=(A+E)-1(A+E)(A-E)=A-E=-=。相似题：13.设,AB=A+2B,求B.解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故.14．设,且AB+E=A2+B,求B.解由AB+E=A2+B得(A-E)B=A2-E,即(A-E)B=(A-E)(A+E).因为,所以(A-E)可逆,从而.第一章n维向量组题型：填空：1．练习册：一、7（类似）解:因为,当35-7m=0时向量组线性相关,所以m=5。2.设，，线性相关，则？解：，所以3选择：3.练习册：二、2（类似）4.练习册：二、4（类似）
22、5.练习册：二、5（类似）计算：6．已知向量组，求：(1)R(α1,α2,α3,α4)；(2)α1,α2,α3,α4是否线性相关；(3)α1,α2,α3,α4一个极大无关组；(4)并用极大无关组表示其余向量。解：(1)(α1,α2,α3,α4)=，所以R(α1,α2,α3,α4)=3；(2)因为R(α1,α2,α3,α4)=3<4，所以线性相关；(3)α1,α2,α3为一个极大无关组；(4)由于(α1,α2,α3,α4)=所以α4=。7.练习册：三、3(类似)(1)(α1,α2,α3,α4,α5)=®®,向量组的秩为3;(2)因为秩<5,
23、所以线性相关;(3)α1,α2,α3为一个极大无关组;(4)(α1,α2,α3,α4,α5)®®,所以a4=a1+a2-a3，a5=(a1-a2+a3)。8．练习册：三、5(类似)解：(1)(α1,α2,α3,α4)=®;向量组的秩为3;(2)因为秩<4,所以线性相关;(3)α1,α2,α4为一个极大无关组;(4)(α1,α2,α3,α4)®,所以α3=-α1-α2。注：考试出题为：四个五维向量证明：9.练习册：四、3(类似)设b1=a1,b2=a1+a2,×××,br=a1+a2+×××+ar,且向量组a1,a2,×××,ar线性无关,
24、证明向量组b1,b2,×××,br线性无关.解：已知的r个等式可以写成,上式记为B=AK.因为
25、K
26、=1¹0,K可逆,所以R(B)=R(A)=r,从而向量组b1,b2,×××,br线性无关.10．练习册：四、2若向量组线性无关，而试证：线性无关。(类似)解：设，即由于向量组线性无关，所以，解得，所以线性相关。11．设向量组线性无关，令证明：向量组线性无关。(类似)解：设，即由于向量组线性无关，所以解得，所以线性相关。第一章线性方程组题型：选择：1.练习册：一、4R(A)=n计算：2.教材P92-4.5;解：因为R(A)=3,所以AX=β对
27、应的齐次线性方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数为4-3=1，由线性方程组解的性质可知是AX=0的一个基础解系，故AX=β的通解为，其中为任意常数。3．教材P93-4.14(非原题，类似)方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为，其中为任意常数。4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，为它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解：方程组对应的齐次线性方程组的基础解系含个解向量，则所求方程组的通解为其中为任意常数。，因此，方程组的通解为。5．已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3
28、，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α4，求线性方程组Ax=β的通解.（类似）解由α2，α3，α4线性无关及α1=2α2-α3知矩阵A的
