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1、第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若
2、f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：
3、f(x)
4、≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(
5、c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函
6、数。一、例题分析例1.求下列函数的定义域：⑴解:对于有:≠0解得:≠±1对于有:≥0≥－2∴的定义域:⑵解:由得：，解得:由得：＞0，＜2∴的定义域:例2.设f(x)的定义域为（-1，1）则f(x+1)的定义域为A.(-2,0),B.(-1,1),C.(0,2),D.[0,2][]解：∵-1＜x+1＜1∴-2＜x＜0即f(x+1)的定义域为:x∈(-2,0)应选A.例3.下列f(x)与g(x)是相同函数的为A.,B.，C.，D.，[]解：A.，B.，应选BC.，D.，例4.求，的反函数及其定义域。解：∵，∴，
7、∵在(-3,+∞)内，函数是严格单调的∴反函数：例5.设则其反函数。解：∵在内是严格单调增加的∴又∵∴取即：（应填）例6.设函数和是定义在同一区间上的两个偶函数，则为函数。解：设∵=∴是偶函数（应填“偶”）例7.判断的奇偶性。解:∵∴为奇函数例8.设，则的周期为。解法一:设的周期为T,=∴而∴，∴解法二：∵∴(应填)例9.指出函数那是由些简单函数复合而成的？解：令，则，则，则∴是由：，，，复合而成的。例10.已知,则等于A.,B.,C.,D.[]解:∵∴或（应选A）例11.已知求的表达式。解:∵解得∴§1.2
8、极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理:若的极限存在必定有界.2.函数的极限：⑴当时，的极限：⑵当时，的极限：左极限：右极限：⑶函数极限存的充要条件：定理：㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：称在该变化过程中为无穷大量。X再某个变化过程是指：2．无穷小量：称在该变化过程中为无穷小量。3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：4．无穷小量的比较：⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α
9、；⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：则：㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：（n=1、2、3…）且：则：2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：且：则：㈣极限的运算规则若：则：①②③推论：①②③㈤两个重要极限1．或2．一、例题分析例1．求数列的极限。解：例2．计算解：∵∴误解：=0例3．下列极限存在的是A.B.C.D.[]解：A.B.∴不存在C.应选CD.∴不存在例4.当时，与是等价无穷小量，则。解：∵∴(应填2)例5.计算(n=1,2,3,……)解
10、:∵(n=2,3,……)∴又:由两面夹定理可得:∴例6.计算下列极限⑴解:⑵解:⑶解法一:共轭法解法二：变量替换法设：当时，⑷解法一：共轭法解法二：变量替换法设：当时，⑸ 解法一：解法二：∵∴⑹解：设：当时，结论：⑺解法一：∵∴∴又解法二：∵解法三：应用罗必塔法则⑻解法一：解法二：设当时，解法三：例7.当时，若与为等价无穷小量，则必有。解：∵∴∴（应填）结论：例8.若，则。解：∴（应填）例9.已知，
