6.2 多元函数的偏导数和全微分

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1、6．2多元函数的偏导数和全微分6．2．1偏导数的概念与计算1．偏导数定义对于二元函数，如果只有自变量x变化,而自变量y固定,这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数对于x的偏导数。定义：设函数在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时,相应地函数有增量如果极限存在,则称此极限为函数在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作：，，，或。即：.类似地，函数在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为：,记作：，，，或。偏导函数：如果函数在区域D内每一点处对x的

2、偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数对自变量的偏导函数,记作，，，或。偏导函数的定义式：.类似地,可定义函数对y的偏导函数,记为,,，或。偏导函数的定义式：.2．偏导数的计算求时,只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时,只要把x暂时看作常量而对y求导数。讨论：下列求偏导数的方法是否正确？，，，。偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为,其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点.它们的求法也

3、仍旧是一元函数的微分法问题.例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.解,.,.例2求z=x2sin2y的偏导数。解；。例3设,求证:.证,..例4求的偏导数。解；。例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证:.证因为,;,;,;所以.例5说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商。3．偏导数的几何意义一元函数在某点处的导数从几何上看表示曲线在该点处的切线斜率，那么二元函数的偏导在几何上表示什么呢？我们知道，二元函数在空间中表示一曲面，在处对求偏导时把

4、看成常量，这时是关于的一元函数，所以表示曲面与平面的交线在处沿轴正向的切线斜率(如图)．同理，表示曲面在该点处沿轴正向的切线斜率．4．偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如在点(0,0)有,fx(0,0)=0,fy(0,0)=0,但函数在点(0,0)并不连续.提示：,;,.当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,有;当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,有.因此,不存在,故函数f(x,y)在(0,0)处不连续.6．2．2全微分1．全

5、微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有偏增量与偏微分：，为函数对x的偏增量,fx(x,y)Dx为函数对x的偏微分;，为函数)对y的偏增量，为函数对y的偏微分。全增量：计算全增量比较复杂,我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之.定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量可表示为,其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而称ADx+BDy为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即如果函数在区域D内各点处都可微

6、分,那么称这函数在D内可微分.2．可微与连续可微必连续,但偏导数存在不一定连续.这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)=ADx+BDy+o(r),于是,从而.因此函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.3．可微条件定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导数、必定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为：。证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是,对于点P的某个邻域内的任意

7、一点P¢(x+Dx,y+Dy),有Dz=ADx+BDy+o(r).特别当Dy=0时有f(x+Dx,y)-f(x,y)=ADx+o(

8、Dx

9、)上式两边各除以Dx，再令Dx®0而取极限，就得,从而偏导数存在,且.同理可证偏导数存在,且.所以：.偏导数、存在是可微分的必要条件,但不是充分条件.例如，函数在点(0,0)处虽然有fx(0,0)=0及fy(0,0)=0,但函数在(0,0)不可微分,即Dz-[fx(0,0)Dx+fy(0,0)Dy]不是较r高阶的无穷小.这是因为当(Dx,Dy)沿直线y=x趋于

10、(0,0)时,.定理2(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数、在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯,Dx、Dy分别记作dx、dy,并分别称为自变量的微分,则函数z=f(x,y)的全微分可写作.二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数,例如函数u=f(x,y,z)的全微分为.例1计算函数z=x2y+y2的全微分.解因为,,所以dz=2xydx+(x2+2y)dy.例2