第十八章 动态优化模型

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1、变分法简介变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法，有着广泛的应用。这里，根据以下列举的控制问题的建模需要，先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。一、变分法的基本概念1．容许函数集满足条件（1）在上逐段连续可导；（2）满足边界条件的一切函数构成容许函数集。适合不等式的容许函数集，称为函数的领域。2．泛函概念通俗地说，泛函就是“函数的函数”。设为一个容许函数集，若对于每一个函数都有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记为。例如，函数的定积分是一个泛函。同样可定义元泛函的概念，常记为。3．泛函

2、的连续性如果对任意给定的正数，存在正数，当时，能使则称泛函在处是阶接近的连续泛函。4．泛函的变分泛函的变分与函数的微分概念类似。设在处的增量记为，如果泛函在处的增量可表示为。其中：是的线性函数，R是的高阶项（当时，），则称为泛函在处的变分，记为这时，也称泛函在处可微。计算泛函的变分，采用下面定理1给出的变分形式是方便的。定理1如果泛函可微，则其变分可表示为。证由L对的线性性质，有，于是同样，对元泛函的变分为5、泛函的极值函数的极值，是相对局部领域而言的。可微泛函在处有极值的必要条件是；元泛函在处有极值的必要条件是。6．变分法的基本引理为了进一

3、步研究科学家函极值的必要条件，需要引用如下引理。引理设在内连续，若对满足的在内具有连续二阶导数，且使。则在内，。（用反证法容易证明，略）。二、无约束条件的泛函极值求泛函（1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线，使给定的二阶连续可微函数沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为。1．端点固定的情况设容许曲线满足边界条件，且二次可微。首先计算（1）式的变分：（2）对上式右端第二项做分布积分，并利用，有再代回到（2）式，并利用泛函取极值的必要条件，有。因为的任意性，及，所以由基本引理得到著名的欧拉方程（3）它是这类

4、最简泛函取极值的必要条件。最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情况，如二元泛函取极值的必要条件——欧拉方程为（4）2．端点变动的情况（横截条件）设容许曲线在固定，在另一端点时不固定，是沿着给定的曲线上变动。于是端点条件表示为这里，是变动的，不妨用参数形式表示为。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有（5）再对（5）式做如下分析：（1）对每一个固定的，都满足欧拉方程，即（5）式右端的第一项积分为零；（2）为考察（5）式的第二、第三项，建立与之间的关系，因为两端对求导，并令，有即（6）于是，（5）式变为由的任意性

5、，便得横截条件为（7）横截条件（7）式有两种常见的特殊情况：①当是垂直横轴的直线时，固定，自由，并称自由端点。此时（5）式中及的任意性，便得自由端点的横截条件（8）②当是平行轴的直线时，自由，固定，并称为平动端点。此时，（7）式的横截条件变为（9）注意，横堆条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。三、有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统（10）寻找最优性能指标（目标函数），（11）其中：是控制策略，是轨线，固定，及自由，（不受限，充满值曲线空间），连续可微。问题的提法是：求最

6、优控制使泛函在条件（10）式下达到极值，并求极值曲线。下面推导取得目标函数极值的最优控制策略和最优轨线的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑（12）的无条件极值，首先定义（10）式和（11）式的哈密顿函数为，（13）将其代入（12）式，得到泛函。（14）下面先对其求变分再令，由的任意性，便得（1），必满足正则方程：①状态方程，②协态方程。（2）哈密顿函数作为的函数，也必满足，并由此方程求得。（3）求，，时，必利用边界条件①，（用于确定）②（用于确定）③（确定）。四、最大值原理如果受控系统为。其控制策略的全体构成有界集，

7、求，使性能指标达到最大（小）值。最大（小）值原理：如果和都是连续可微的，那么最优控制策略和相应的最优轨线由下列的必要条件决定：（1）最优轨线，协态向量满足正则方程，。（2）哈密顿密数作为的函数，最优策略必须使或使。（3）满足相应的边界条件：①若两端点固定，则正则方程的边界条件为。②若始端固定，终端也固定，而自由，则正则方程的边界条件为。③若始端固定，终端，都自由，则正则方程的边界条件为，。