第15讲第三章习题课

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1、《量子力学》教案林洁丽第三章矩阵力学（I）量子力学中的力学量（习题课）一、算符在量子力学中的意义。1．证明厄米算符的本征值为实数。见讲义。2．证明力学量在任意态中的平均值为实数。解：设已归一化，则.所以力学量F在任意态中的平均值为实数。3．若，且，求证：若为的本征函数，对应的本征值为，则也是的本征函数，对应的本征值为。证：为的本征函数，对应的本征值为，又且，（练习：证也是的本征函数，对应的本征值为）为的本征函数，相应的本征值为。第12页《量子力学》教案林洁丽二、对易子的计算：1．求。2．求证3．求证＝

2、；。1．解：设为任一波函数，则而即=2．证：（要记忆）三、作业评讲（黑板）第12页《量子力学》教案林洁丽四、补充例题：1．设时，氢原子体系处于的状态中，式中为氢原子的定态波函数，求任意时刻t体系的态函数。解：一般解为定态波函数的线性迭加：为含时薛定谔方程（式）的解，故描述状态随时间t变化的规律，因此，本题的解：其中，{注意：未归一化，因而也未归一化，但本题无此要求。}2.质量为m的粒子处于的一维无限深势阱中的基态，设阱壁突然运动至。求这时粒子仍处于基态的几率。解：在无限深势阱中，粒子的基态是（）。［公

3、式要记住!］在无限深势阱中，本征波函数（基矢）为()本题的关键是理解：当突然运动至时粒子的状态(即波函数)仍处于所描述的状态之中（因为态的变化需要时间）。第12页《量子力学》教案林洁丽即：用展开，即，则就是(由态描写的粒子处于态的几率。而所求几率为。五、讨论的主题：1．测不准关系意味着物理学什么也不能决定吗？（并不是）其实，不论位置也好、动量也好，若牺牲它们之间的相互关系的话，是完全可以准确测定的。测不准关系并不意味着物理学什么也不能准确测定，而是表示在原理上相互间测定受到限制这一事实。第12页《量子

4、力学》教案林洁丽可是，如果孔变小，则电子就容易碰到孔的边缘。如果碰到孔壁上，由于电子的一部分动量消耗在孔壁上，就会是电子的速度发生改变，而且，因为孔壁是固定的，所以不能从对孔壁的作用而得知有多少电子的动量发生变化。为了把孔变小来准确地测定位置，那就要牺牲速度的精确性。那么，如果把装置改一下，把孔壁改成活动式的，通过测定电子给孔壁的动量来确定电子的速度的话，又将会怎样呢？根据动量确实是可以求得速度的。但是，壁每动一次，孔也动一次，这样，电子通过的位置就又不清楚了。为了准确地测定电子的速度，这一下子，位置

5、就测不准了。结果，由于不能同时确定地知道孔穴附近的电子的位置和速度，所以也就不能够说清是在底片上的哪一个点上成像的。也就是说，电子的位置和速度是两个不能同时准确测定的量。更确切说：电子的位置和动量是有着测不准的关系。最初发现这个事实的是海森堡，他用假想的实验来表示这个测不准关系。在量子力学中，将原理上可测定的量称为可观测量。位置、时间、动量、能量等都是可观测量。可以认为，不论哪一个量，刻度尺或钟表都可以用仪表的指针来表示它们的值。第12页《量子力学》教案林洁丽所以在某一个实验中，假如靠仪表读出可观测量

6、中的一个值，那么，也可同时确定另一个可观测量的值。这无论对哪一组来说，都是适用的。例如，对电子的位置和动量也是这样。可是，再重复一次这个相同的实验时，对于同一个可观测量来说，可能得到相同的值；但对于另一个可观测量来说，有可能得到和前一次不同的值。反复实验无论进行多少次都是这样。这就是说，这两个量相互有着测不准的关系。不论是位置还是动量，每一个值都是以单个实验来确定的。然而，这种相同的实验不论反复进行多少次，假如说，若位置得到相同的位置则动量就不一定能取得和前几次完全相同的值。象这样的可观测量，不论出现

7、多少也是不足为奇的。说得确切一些，量子力学对于种种的量，决不是“不决定”，而是相对的“测不准”。这就是打开电子的“粒子”和“波”的二象性秘密的钥匙。我们再来研究电子射线通过小孔的问题。由于小孔附近电子的位置和动量不能同时确定，所以对电子在底片上的哪一个点成像也就不清楚。但，我们不能因此就说对底片上的像是完全无知的。假如把单个电子象波那样来考虑在底片上预先标好位置，然后，用多个电子进行实验，则能得到和标记相同的衍射图样。这就象掷（zhi）股子一样，如果这股子不是骗人的话，是不会知道倒出来的谷子是哪一个“

8、点儿”朝上的。如果统计一下出现的次数，即使开始时是无规律的，然而，若增加掷的次数，就会看出谷子上的这六个“点儿”出现的次数是大致相同的。第12页《量子力学》教案林洁丽把掷的单个股子出现的情况统计一下，发现不论哪个“点儿”都分配到六分之一的次数。这就是所谓的几率的概念。实际上，几率不是表示掷股子时将出现的“点儿”，但如果增加掷的次数，它决不是没有意义的。实际上，某一特定“点儿”出现的次数极接近于几率跟掷的总次数的乘积这个数值，所以至少可以提出某种预想。而且