a sparse reduced hessian approximation for

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1、多参数波场重建反演的稀疏Hessian的近似摘要多参数全波形反演是一个具有挑战性的问题，因为未知参数出现在相同的波equationandthemagnitudeoftheparameterscanvarymanyor-动方程并且不同的参数的数量级相差很大，这使得精确估计多参数非常困难。为了减少问题，一系列策略，正则化方法和加权梯度拟牛顿hessian法已经实行。这些策略对于不同的波形反演需要进行不同的设计。我们建议使用一个稀疏近似hessian矩阵，源于目标函数的构造。稀疏允许以较低的内存和运算量hessian矩阵更新模型。这一结果使得能够以非常

2、低的额外的内存和计算成本重建多参数。总结多参数波形反演是不是一个新的话题，（Tarantola，1986）提出顺序反演参数的策略。其他的研究中涉及多参数反演在多个微分方程中，诸如电磁和地震数据的联合反演。在这方面研究一个正则化方法用来结构上提高相似模型（Gallardo&Meju,2004）。更多最近的多参数全波形反演例子是Lavoué,Brossier，Métivier,Garambois,&Virieux（2014年）和Prieux,Brossier,Operto,与Virieux（2013）。由于正规化促进结构相似依赖于地质的先验信息和顺序

3、反演的策略针对不同的参数或不同的数据集可能必须重新设计和微调。从这方面考虑，我们不会用所有这些想法。虽然顺序反演和正规化的概念是可以很成功，我们使用最少的先验信息和最小量用户评估集中力量全自动反演，如果它是一个可行的替代方案。在这个意义上，我们寻求改进梯度基于通过使用Hessian信息方法（包括准牛顿方法）。我们构想是基于的波形反演问题的构想，Leeuwen&Herrmann（2013年）引入到波形反演。我们拓展其构想到多参数的情况下，并推导出一个稀疏高斯-牛顿型来近似hessian矩阵。这当用伴随状态的方法来解决微分方程-约束最优化的拉格朗日问

4、题这种近似是不可能。在简单的数值实验中，我们示出了我们的Hessian矩阵的近似的效果，并将其应用到一个多参数波形反演问题。波场重建反演构想我们首先确定反演要用的公式。描述声波方程的二阶偏微分方程是（1）这是为无损的和各向同性的媒体亥姆霍兹方程，只有单极震源。源。在本文，我们只考虑了测量压力场p。我们要反演的未知参数是张力b和压力k。声波介质中的压力，张力和速度关系是一般的波形反演问题是差分方程约束下的最优化问题。通常的是（2）P是作用在检波器线性映射算子，A是离散的二参数亥姆霍兹方程，u是压力场，q是震源，d是测量数据。需要估算的两个参数是张力

5、b和压力k。根据Leeuwen&Herrmann(2013),的思想，用下面的目标函数进行波场重建反演。（3）该式子是数据误差和差分方程误差的组合，标量决定着二者的作用大小。这是一个无约束问题，去除偏微分约束把它作为二次项。我们学习Aravkin&Leeuwen(2012)应用一个变量映射来减少场变量，通过（4)得到化简：(5)使用这个构想，我们先更新，然后再更新介质参数。换句话说，我们首先重构波场，考虑到微分方程的和观察到的数据，然后我们使用波场来更新模型。所以，在优化算法的每次迭代，我们解决了最小二乘问题和使用最优化算法找到的更新方向。可以通

6、过计算动态的频率和震源的总和来求失配和梯度。因此，逐次只有一个波场必须是在存储。为了求解梯度和hessian矩阵，我们需要求方程对两个参数的导数。如下（6）由于该参数的选择，所述偏导w.r.t一个参数不依赖于另一个的。这些偏导可以用来写目标函数的负梯度（7）这些梯度的结构表明，压力的扰动会促使一个张力的非零梯度反之亦然。这是姆霍兹方程中两个参数作用的结果，并且是多参数反演方程具有挑战性的原因之一。获得稀疏近似Hessian计算量不增加目标函数（eq.5）的梯度（eq.7）可以用于梯度下降法。我们不研究这些，因为线性收敛速度将使这种方法是不可行，对

7、于疑难问题存在病态hessian矩阵问题。拟牛顿方法可以提供更快的超线性速度收敛。hessian矩阵矩阵，其中L-BFGS试图重复获得具有低级别的更新近似，有块结构，其中对应于不同的未知数块，可以有广泛不同Frobenius范数。这导致在强烈的病态（可以是上述机器精度的多个数量级倍数）。因此，有疑问L-BFGS近似多大意义。因此用对角初始化的L-BFGS的Hessian来纠正对于对应于Hessian矩阵块之间的比例差异的不同参数。这种初始化是琐碎的选择，虽然理智和物理启发的选择可以做，信息没有被手头的的问题直接提供。对角线缩放可以提高准确度。La

8、voué（2014年）做了一个很好的讨论关于多参数和L-BFGShessian矩阵反演。这些令人失望的结果促使使用hessian矩阵的信