特征值和特征向量的性质与求法

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1、陕西理工学院学年论文特征值和特征向量的性质与求法方磊（陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中723000）”指导老师：周亚兰[摘要]：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。[关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量第8页共8页陕西理工学院学年论文1特征值与特征向量的定义及性质定义1：（ⅰ）设A是数域p上的n阶矩阵，则多项式

2、λE-A

3、称A的特征多项式，则它在c上的根称为A的特征值。（ⅱ）若λ是A的特征值，则齐次线性方程组(λE-A)X=0的非零解，称为A的属于特征值λ的特征向量。定义2：设α是数

4、域P上线性空间v的一个线性变换，如果对于数域P中的一数存在一个非零向量ξ，使得aξ=ξ，那么成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值的一个特征向量。性质1：若λ为A的特征值，且A可逆，则、则为的特征知值。证明：设为A的特征值，则=∴λi≠0(i=1、2…n)设A的属于λ的特征向量为ξ则则λξ=ξ即有ξ=ξ∴为的特征值，由于A最多只有n个特征值∴为ξ的特征值性质2：若λ为A的特征值，则为的特征值=+证明：设ξ为A的属于λ的特征向量，则Aξ=λξ∴ξ=(+)ξ=ξ+ξ+…+ξ=ξ++…+ξ=ξ又ξ≠0∴是的特征值性质3：n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一

5、定是A的特征值第8页共8页陕西理工学院学年论文证明：设A=则由题设条件知：==a∴a是A的特征值推论：若λ为A的特征值，且A可逆，则为的特征值(为A的伴随矩阵)。证明：因为=而的特征值为.再由性质2知：是的特征值性质4：一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。证明：因为所以与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。性质5：如果λ是正交矩阵A的特征值，那么也是A的特征值。证明：设λ是A的特征值，那么存在非零向量ξ使得Aξ=λξ用作用之后得ξ=λξ又A的特征值一定不为零，所以λ0是的特征值，又A是正交矩阵=为的特征值又A与相似，与A有相同的特征根第8页

6、共8页陕西理工学院学年论文也是A特征根性质6：设是A对应于特征值的特征向量，是的对应与的特征向量。若A=则=(1)并有=(2)给(1)右乘以、(2)左乘以相减得0=-则=0性质7：设A、B均为n阶矩阵，则AB与BA的特征向量相同。证明：若λ是AB的特征值，x是相应的特征向量若BX≠0则BABX=λBX若BX=0B不是可逆矩阵(否则x=0)∴BA也不是可逆矩阵故必有特征值0同样AB也有特征值0由此AB与BA有相同的特征值。2特征值与特征向量的求法2.1矩阵特征值与特征向量的求法①基本计算法（ⅰ）求出矩阵A的特征多项式（ⅱ）求出的全部根（ⅲ）把特征值逐个代入

7、齐次线性方程组并求它的基础解系，即为A的属于特征根的线性无关的特征向量。②用初等变换法利用矩阵初等变换在求得矩阵特征值的同时，同步求得特征值所属的全部的线性无关的特征向量，而且它们都巧妙的隐含在同一矩阵中。定理1：设F=且列初等变换→，其中为下三角矩阵，则第8页共8页陕西理工学院学年论文的主对角线上的全部元素的乘积的λ多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征根，且对于矩阵A的每一特征根，若矩阵中非零解向量的列构成列满秩矩阵，那么矩阵中和中零向令所对应的列向量是属于特征根的全部线性无关的特征向量，否则继续进行列变化到中飞零向量的列构成列满秩矩阵，那么中和中零向量

8、所对应的列向量是属于特征根的全部线向无关的特征向量。证明：设=且，其中通过列初等变换将化为记为中第一行元素不可能全为0，否则秩

9、有不同的特征值代入，对每一个特征值解方程组求其基础解系，解的一组属于的线性无关的特征向量，从而求得A的全部特征向量。2.2.2利用相似性求解同一个线性变换在不同基下矩阵相似而相似矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值，这样可利用相似性求解。3例子例1求矩阵A=的特征根与特征向量。解：所以A的特征根(二重)当时，因的非零向量的列构成非满秩矩阵因此进行列初等变换=第8页共8页陕西理工学院学年论文由的非零解向量构成列满秩矩阵，且第一，三列为零向量，故第一，三列向量为的全部线性无关的特征向量为和。属的线性无关的特征向量为例2：设是四维线性空间v的一组基，线性

10、变换A在这组基下的矩阵为A=，求A的特征值和特征向量。解：A的特征多项式为所以A