初升高后期 补课资料

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1、第四部分二次函数1.初中函数定义：在某一个过程中有两个变量x、y，当x在某一个范围内取任意一个值时，按照某一对应法则（不妨记对应法则为f），y都有唯一的值和x对应，这时我们说x是自变量，y是x的函数（y是函数值或因变量）.所以，函数实际是反映了一种x与y对应，在高中我们一般记为y=f（x）.2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同（对应法则相同）.3.初中已学习的函数：函数常量函数一次函数反比例函数二次函数定义形如的函数形如的函数（特别：b=

2、0时，正比例函数）形如的函数（其中）形如（）的函数图像函数性质系数特征过点与x轴平行的一条直线.（注意：与直线的区别）.过点的直线.K定直线倾斜程度时过一三象限时过二四象限过的双曲线.（x、y轴为其渐近线）时在一三象限时在二四象限过的抛物线a定形,轴,顶点.范围x取值范围一切实数，y取值仅为cx与y的取值范围都是为一切实数x与y的取值范围都是不为0的实数x取值范围一切实数，y有最值限制增减无论x变大或变小y都是定值且为c,x变大y变大,x变大y变小,x变大y变大,x变大y变小x与y的变化依赖a的符号与x范围

3、对称轴:与其垂直直线中心:其上的点.轴:与其垂直直线中心:其上的点.轴:象限的平分线中心:坐标原点.轴:直线.4.掌握函数的方法：看到函数的图像形状做到“心中有数”；看到函数的性质描述应该“胸有成竹”（即，看到图像能够描述其性质，看到性质能够描绘其草图）——数形结合.正如著名数学家华罗庚所讲：“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”.第一节二次函数的图像和性质及其图像平移1.二次函数图像作法：一般仍然是“三步曲”——①列表；②描点；③连线.说明：1）列表中注意应先确定顶点和对称轴，

4、然后在对称轴两边对称地取x的值列表.2）四点法作图：选二次函数图像的顶点，与x轴的交点和，与y轴的交点，过这四点结合对称性作二次函数的图像也比较方便准确.简称“四点法作图”.3）图像变换法：通过图像平移的办法作函数图像草图.问题1：函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？——为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．列表如下：x

5、…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818…从上表不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如下图所示）.从下图我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：结论1：二次函数

6、y＝ax2(a≠0)的图象由y＝x2的图象上各点纵坐标变为原来的a倍得到．对函数y＝ax2(a≠0)，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口大小．即：函数y＝ax2(a≠0)的图像形状由a确定，当a>0时抛物线开口向上，且a越大开口越小.问题2函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？——同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如右图所示）.从函数的图像我们不难发现，只要把函数y

7、＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：结论2：二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．即：二次函数y＝a

8、(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可以由y＝ax2的图像左右、上下平移得到，平移法则：“左加右减，上加下减”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：（a确定图