文科考研微积分第二章 一元函数微分学.ppt

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1、第二章一元函数微分学1一、导数定义第一种形式：第二种形式：导数的几何意义：切线的斜率；内容提要2二、求导法则基本初等函数的导数；导数的四则运算；反函数、复合函数求导；隐函数求导；高阶导数,几个简单函数的n阶导数：3三、中值定理费马引理,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.四、导数的应用洛必达法则——求极限的重要方法.利用函数的一阶导数研究函数的单调性及其极值.利用函数的二阶导数研究函数的凹凸性及其拐点.最大值、最小值问题.4渐近线问题：5典型例题解例1题型1：导数的定义6解例2连续：可导：7

2、解例38例4(Ⅰ98二3)（A）3（B）2（C）1（D）0分析解类题(Ⅰ92二3)9例5解(Ⅰ99二3)（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导选(D).10解例61112所以1314解例7(1)15(2)及时分离非零因子16例8解17所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).18例9解(A)，(B)两项中分母的极限为0，19存在.【答案】应选(D)。反例：存在，20题型2：利用导数求曲线的切线和法线方程解例1所以所求切线方程为21解例222题型3：一般导函数的计算解例1先化

3、简，所以23例2解用对数求导法,24解例3(1)式两边再关于x求导：25解例426例5解先用待定系数法分解，另:27例6解法1由Leibniz公式：得28解法2由麦克劳林公式,得例629题型4：可导、连续与极限的关系解例1（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导30解例1（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导【答案】应选(C).题型4：可导、连续与极限的关系31类题32题型5：微分的概念与计算解例1两边对x求导，33例2解34题型6：利用导数确定单调

4、区间与极值解例135选（A）.36例2解3738根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).例3解(Ⅰ03二4)xyo(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.39例4解选(C)

5、.40例5解(Ⅱ96六8)两边关于x求导,得对(1)式再求导，得41例6解于是所求线段的最短长度为42题型7：求函数曲线的凹凸区间与拐点解例143解例244故应选(C).45题型8：求函数曲线的渐近线解例1（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条选(B).46（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线选(D).解例2(Ⅰ91二3)47例3解（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条48故应选(D).例3解（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条49【评注】例

6、3（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条50解例4（A）0条（B）1条（C）2条（D）3条故应选(D).51题型9：确定函数方程f(x)=0的根解例1（A）2（B）4（C）6（D）8选(B).【评注】xyo52证例25354证例3的零点的个数。55xyo只有一个交点；有两个交点；56题型10：确定方程的根例1证(1)57分析：用微分方程法,原等式改写为证(2)例158证且由题设及(1)知,例159(Ⅳ95七5)类题60例2证[Ⅰ05(18)12](Ⅰ)略.所以61例3解62【证明】不妨设存在例4636

7、4题型11：利用导数证明不等式证例1于是65证法1【分析】根据所证不等式的形式,可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明.例2[Ⅰ04(15)12]66证法2例267再用单调性进行证明即可.例268题型12：导数在经济上的应用解例1需求弹性为69例2解(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.（1）利润函数为70例2解(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.（2）（3）71

8、例3解根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末总收入R的现值为7273ENDEND74解例3(Ⅰ05二4)(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.所以选(C).75解法1例5(Ⅱ90,3)76解法2一般，斜渐近线求法：77解【Ⅰ05,4】所求斜渐近线方程为类题78