第二章一元函数微分学

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1、第二章一元函数微分学一、选择1、设，则等于（）(A);(B);(C);(D)2、过点（0，-1）且与相切的直线是（）(A)(B)(C)(D)二、判断1、若为曲线的拐点，则一定有（）2、函数的极值必发生在使的点上（）3﹑若f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，则必存在（a,b），使＝0。（）4．函数的极值必发生在其驻点上。（）5．设为曲线y=f(x)的拐点，则一定有。（）6﹑若f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，则必存在（a,b），使＝0。（）三、计算1．求的微分。2、求的导数3、证明，（x>0）成立。4能否用L’hospital法则求下列极限？(1);(

2、2)5设0

3、）求r关于l的相对变化率，其中都是常数；（2）求细菌体表面积随时间的相关变化率。14利用L’hospital法则求下列函数极限（1）（2）（3）（4）15求下列函数的单调区间、凹凸区间、极值点、拐点和渐近线，并绘图。（1）（2）（3）（4）16已知，任意一点处的光照强度正比于光源强度，反比于该点到光源距离x的平方。现有两处光源相距100米，光强分别为8个亮度和1个亮度。求光源之间一点，在该点的总亮度最小。（提示：光照强度是可以叠加的）17、求的极限（8分）18、讨论函数的单调性、极值。（8分）19、求函数（a>0）的凹凸性，拐点。20树枝上树叶能覆盖的面积A决定获得的阳光的多

4、少，设树枝同主干的夹角为，则有，证明，存在一个最佳角度，使面积A最大。答案：一、选择BA二、判断1、X2、X3﹑X4．×5．×6﹑．W三、计算1．求的微分。，，。2、求的导数（8分）3、证明，（x>0）成立。令f(x)=ln(1+x),则当x>0时，在[0，x]上应用Lagrange中值定理，则至少存在一点而〈〈1，故有〈ln(1+x)

5、及该点处的切线方程和法线方程；（1）切线方程：法线方程：（2）切线方程：法线方程;8设函数在x=a可导且求。=。9求下列函数的导数（1）；；（2）（3）(4)(5)；（6）（7）（8）10半径为a的半球内，内接一长方体，问各边长多少时，其体积最大？设内接长方形的长、宽、高分别为x、y、z且满足长方形体积令，解之得，故因此当内接长方形的长、宽、高分别为、、时体积最大。11求由下列方程确定的隐函数的导数：（1）；（2）；（3）（4）12、1_6月婴儿的体重w和体表面积s随月龄m而变的规律为和证明，w和s的相对变化率满足关系13假定在生长的一定阶段，某种杆状细菌的半径r，杆长l为、

6、（时间t，（1）求r关于l的相对变化率，其中都是常数；（2）求细菌体表面积随时间的相关变化率。（1）（2）14利用L’hospital法则求下列函数极限（1）（2）（3）（4）15求下列函数的单调区间、凹凸区间、极值点、拐点和渐近线，并绘图。（1）x(0,1)1e-不存在-0+++-不存在+++0-单调减拐点单调减极小值单调增拐点单调增凸凹凸（2）x0(,)1+0---不存在___0+0单调增极大值单调减拐点单调减凸凹（3）x-3（-3，-2）-2（-2，0）0（0，+∞）---0+不存在--0+++不存在+单调减拐点单调减极小值单调增单调减凸凹（4）x0(,2)2（2，+∞

7、）+++0--------0+单调增0单调增极大值单调减拐点单调减凸凹16已知，任意一点处的光照强度正比于光源强度，反比于该点到光源距离x的平方。现有两处光源相距100米，光强分别为8个亮度和1个亮度。求光源之间一点，在该点的总亮度最小。（提示：光照强度是可以叠加的）(26)树枝上树叶能覆盖的面积A决定获得的阳光的多少，设树枝同主干的夹角为，则有，证明，存在一个最佳角度，使面积A最大。17、求的极限（8分）18、讨论函数的单调性、极值。（8分）xy’+0-0+y增函数极大减函数极小增函数19、求函数（a