必修五--1.1正弦定理与余弦定理(5课时)山西省优秀课件.ppt

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1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第一章解三角形高中新课程数学必修⑤第一课时1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？问题提出1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐角A，B之间有怎样的数量关系？ABCabc3.对于直角三角形，我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系，我们需要建立相关理论进行沟通，这是一个有待探究的课题.2.三角形是最基本的几何图形，许多与

2、测量有关的实际问题，都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度；测量在海上航行的轮船的航速和航向等.正弦定理知识探究（一）：正弦定理的形成思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC分别等于什么？CABabc思考2：将上述关系变式，边长c有哪几种表示形式？由此可得什么结论？CABabc思考3：可变形为,在锐角△ABC中，该等式是否成立？为什么

3、？CABabD思考4：若∠C为钝角，是否成立？若∠A为钝角，是否成立？若∠B为钝角，是否成立？CABabCABabDD思考5：在任意三角形中，同理可得，,因此有该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.知识探究（二）：正弦定理的向量证明思考1：在△ABC中，向量，，之间有什么关系？CABab思考2：若∠A为锐角，过点A作单位向量i，使i⊥,则向量i与,,的夹角分别是什么？CABabi思考3：由可得什么结论？CABabi思考4：若∠A为钝角，上述

4、推理过程有什么变化？所得结论如何？CABabi思考5：若证明，应如何作单位向量i？CAcbBi理论迁移例1在△ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形.C=66.2°，b≈80.1cm，c≈74.1cm.例2在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形.例3在△ABC中，已知a=60cm，b=50cm，A=38°，解三角形.sinB≈0.8999，B≈64°，C=76°，c≈30cm；或B≈116°，C=24°，c≈13cm.sinB≈0.51

5、31，B≈31°，C=111°，c≈91cm小结作业1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即，，每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.作业：P4练习：1,2.1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理第二课时问题提出1.正弦定理的外在形

6、式和数学意义分别是什么？在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.2.在解三角形中，利用正弦定理可以解决哪两类问题？已知两角和一边解三角形；已知两边和其中一边的对角解三角形.3.在正弦定理中，有什么几何意义？利用正弦定理可以得到哪些相关结论？这需要我们作进一步了解和探究，加深对正弦定理的理性认识.正弦定理的拓展3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，探究（一）：正弦定理的几何意义思考1：在直角三角形ABC中，等于什么？CABabc3.在正弦定理中，3.在正弦定理中，思考2：如图，作△ABC的外接圆

7、，你能构造一个一条直角边长为a，其对角大小为A的直角三角形吗？DCABaO思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则等于什么？思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论还成立吗？若∠A为直角呢？DCABaO探究（二）：正弦定理的变式拓展思考1：在三角形中有“大边对大角”原理，如何利用正弦定理进行理论解释？思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪些变形？思考3：利用正弦定理如何求三角形的周长？思考4：设△ABC的外接圆半径为R，则其面积公式可以作哪些变形？思考5：在△ABC中，设∠A的平分线交BC边于点D，则（角

8、平分线定理），你能用正弦定理证明这个结论吗？CABD理论迁移例1在钝角△ABC中，已知AB=，AC=1，B=30°，求△ABC的面积.例2在△ABC中，已知，sinB=sinC，且△ABC的面积为，求c边的长.例3在△ABC中，已知acosB=bcosA，试确定△ABC的形状.等腰三角形例4在△ABC中，已知，求角A的值.120°小结作业1.正弦定理是以三角形为背景的一个基本定理，它不仅可以用来求三角形的边角值，而且可以在三角变换中实现边角转化，是解决三角形问题的一个重要工具.2.