概率论与数理统计第七章参数估计.ppt

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1、第7章参数估计总体所服从的分布类型已知/未知估计总体中未知的参数参数估计抽样参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数.参数估计估计废品率估计新生儿的体重估计湖中鱼数点估计§7.1点估计X1,X2,…,Xn现从该总体抽样，得到样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量).为F(x,)，其中为未知参数(可以是从样本出发构造适当的统计量作为参数的估计量，即点估计。将代入估计量，得到的估计值点估计矩估计极大似然估计关键问题：如何构造统计量?矩估计样本k阶原点矩总体k阶原点矩矩估计基本思想:用样本矩估计总体矩.大数定律：K

2、.皮尔逊设总体的分布函数中含有k个未知参数(1)它的前k阶原点矩都是这k个参数的函数,记为：(2)用样本i阶原点矩替换总体i阶原点矩(3)解方程组，得θi=hi(X1,X2,…,Xn)(i=1,2,…,k);则以hi(X1,X2,…,Xn)作为θi的估计量，并称hi(X1,X2,…,Xn)为θi的矩法估计量，而称hi(x1,x2,…,xn)为θi的矩法估计值。总体期望、方差的矩估计量分别是样本均值和样本二阶中心矩。例1.设总体X的数学期望和方差分别是μ,σ2，求μ,σ2的矩估计量。例2:已知某产品的不合格率为p,有简单随机样本X1,

3、X2,…,Xn求p的矩估计量。解：E(X)=p.例3：设电话总机在某段时间内接到呼唤的次数服从参数λ未知的泊松分布，现在收集了如下42个数据：接到呼唤次数012345出现的频数71012832求未知参数λ的矩估计。例4.X~U(a,b),由简单随机样本X1,X2,…,Xn求a,b的矩估计量。解：E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.矩法特点分析：极大似然估计例：设一箱中装有若干个白色和黑色的球，已知两种球的

4、数目之比为3:1或1:3，现有放回地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的比例p是多少？如果只知道0

5、体X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2是未知参数。求μ,σ2的极大似然估计。求极大似然估计量的步骤：(1)根据f(x;θ)，写出似然函数(2)对似然函数取对数(3)写出方程若方程有解，求出L(θ)的最大值点例3.已知某产品的不合格率为p,有简单随机样本X1,X2,…,Xn，求p的极大似然估计量。若抽取100件产品，发现10件次品，试估计p.例2.设总体X服从参数λ>0的泊松分布，求参数λ的极大似然估计量。例4.设X1,X2,…,Xn为取自总体X~U(a,b)的样本,求a,b的极大似然估计量.回顾：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样

6、本求的矩估计量和极大似然估计量.其中>0,解：(1)矩估计(2)极大似然估计§7.2点估计量的评价标准评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.即确定估计量好坏必须在大量观察的基础上从统计的意义来评价。常用的几条标准是：1．无偏性2．有效性3．一致性一、无偏性则称为的无偏估计.设是未知参数的估计量，若则称较有效.都是参数的无偏估计量，若有设和二、有效性例1：设X1,X2,X3是来自某总体X的样本，且E(X)=μ,讨论μ的以下估计量的无偏性和一致性。例2：设X1,X2,…,Xn是来自某总体X的样本，

7、且,判断的矩估计量是否是无偏估计。三、一致性(相合性)是参数的估计量，若有设则称是参数的一致估计量.切比雪夫大数定律伯努利大数定律§7.3区间估计置信区间定义：则称区间是θ的置信度为的置信区间.分别称为置信下限和置信上限.满足设θ是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量正态总体均值与方差的区间估计§7.4期望的区间估计σ2已知时μ的置信区间σ2未知时μ的置信区间2.求方差的区间估计μ已知时σ2的置信区间μ未知时σ2的置信区间单正态总体四种类型的区间估计已知方差，求期望的区间估计例1：随机地从一批服从正态分

8、布N(μ,0.022)的零件16个，分别测得其长度为：2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11估计该批零件的平均长度μ，并求μ的置信区间(α=0.