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1、第1章方差分析（analysisofvariance)§1单因素方差分析1.1数学模型1.2统计分析1.3方差分析表1.4Matlab实现§2双因素方差分析2.1数学模型2.2无交互影响的双因素方差分析2.3有交互影响的双因素方差分析2.4Matlab实现2012年中国石油大学（华东）理学院数学第1章方差分析在工农业生产和科学研究中,经常遇到这样的问题:影响产品产量、质量的因素很多,我们需要了解在这众多的因素中,哪些因素对影响产品产量、质量有显著影响.为此,要先做试验,然后对测试的结果进行分析.方差分析就是分析测试结果的一种方法.在方差分析中,把
2、在试验中变化的因素称为因子,用A、B、C、...表示;因子在试验中所取的不同状态称为水平,因子A的r个不同水平用A1、A2、...、Ar表示.2012年中国石油大学（华东）理学院数学§1单因子方差分析§1.1基本概念与数学模型水平观测值A1x11x12...x1n1A2x21x22…x2n2……………Arxr1xr2…xrnr2012年中国石油大学（华东）理学院数学例:为寻求适应本地区的高产油菜品种,今选了五种不同品种进行试验,每一品种在四块试验田上得到在每一块田上的亩产量如下:我们要研究的问题是诸不同品种的平均亩产量是否有显著差异.2012年中
3、国石油大学（华东）理学院数学试验的目的就是要检验假设H0:μ1=μ2=μ3=μ4=μ5是否成立.若是拒绝,那么我们就认为这五种品种的平均亩产量之间有显著差异;反之,就认为各品种间产量的不同是由随机因素引起的.方差分析就是检验假设的一种方法.在本例中只考虑品种这一因子对亩产量的影响,五个不同品种就是该因子的五个不同水平.由于同一品种在不同田块上的亩产量不同,我们可以认为一个品种的亩产量就是一个总体,在方差分析中总假定各总体独立地服从同方差正态分布,即第i个品种的亩产量是一个随机变量,它服从分布N(μi,σ2),i=1,2,3,4,5.2012年中国
4、石油大学（华东）理学院数学设在某试验中,因子A有r个不同水平A1,A2,...,Ar,在Ai水平下的试验结果Xi服从正态分布N(μi,σ2),i=1,2,...,r,且X1,X2,...,Xr间相互独立.现在水平Ai下做了ni次试验,获得了ni个试验结果Xij,j=1,2,...,ni这可以看成是取自Xi的一个容量为ni的样本,i=1,2,...,r.实际上,方差分析是检验同方差的若干正态总体均值是否相等的一种统计方法.在实际问题中影响总体均值的因素可能不止一个.我们按试验中因子的个数,可以有单因子方差分析,双因子分析,多因子分析等.例中是一个单
5、因子方差分析问题.2012年中国石油大学（华东）理学院数学水平观测值A1x11x12...x1n1A2x21x22…x2n2……………Arxr1xr2…xrnr2012年中国石油大学（华东）理学院数学由于Xij~N(μi,σ2),故Xij与μi的差可以看成一个随机误差εij~N(0,σ2).这样一来,可以假定Xij具有下述数据结构式:为了今后方便起见,把参数的形式改变一下,并记称μ为一般平均,αi为因子A的第i个水平的效应.Xij=μi+εij,i=1,2,...,r;j=1,2,...,ni其中诸εij~N(0,σ2),且相互独立.要检验的假设
6、是H0:μ1=μ2=…=μr2012年中国石油大学（华东）理学院数学在这样的改变下,单因子方差分析模型中的数据结构式可以写成:所要检验的假设可以写成:为了导出检验假设的统计量,下面我们分析一下什么是引起诸Xij波动的原因.2012年中国石油大学（华东）理学院数学平方和分解公式：引起诸Xij波动的原因有两个:一个是假设H0为真时,诸Xij的波动纯粹是随机性引起的;另一个可能是假设H0不真而引起的.因而我们就想用一个量来刻划诸Xij之间的波动,并把引起波动的两个原因用另两个量表示出来,这就是方差分析中常用的平方和分解法.§1.2统计分析2012年中国
7、石油大学（华东）理学院数学其中交叉乘积项2012年中国石油大学（华东）理学院数学下面我们来看各式的意义2012年中国石油大学（华东）理学院数学2012年中国石油大学（华东）理学院数学检验统计量的构造:2012年中国石油大学（华东）理学院数学对于各组样本有因此2012年中国石油大学（华东）理学院数学2012年中国石油大学（华东）理学院数学2012年中国石油大学（华东）理学院数学一般,当F>F0.01时,称因子的影响高度显著,记为“**”;当F0.01>F≥F0.05时,称因子的影响显著,记为“*”;当F＜F0.05时,称因子无显著影响,即认为因子各
8、水平间无差异.检验过程：2012年中国石油大学（华东）理学院数学§1.3方差分析表2012年中国石油大学（华东）理学院数学2012年中国
