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1、关于许瓦兹不等式的证明梁世安东北师范大学,”,切现证时式也成立许瓦兹习不等式·二“,,,,,、,·、艺,兄夕凡兄口《艺乙夕戴,,七,·。,、,,二日·,兔又称柯西不等式其中夕是任二一,意复数它是高等数学也是初等数学的重要象,,不等式许多初等数学的不等式都是它的特由归纳法假定丫‘,,,臼殊情况而它的证明只涉及到复数的基本知,’·,,,丫刀《乙艺刀识因此就不等式本身的证明来,七,,,·、,·说对学过复数知识的高中学生是一个运用丸刀处凡。所学知识去证明问题的能力的培养练习,么·、。乙口本文拟给出对高中学生能够接受的几种了。证明方法以
2、及由此而引出的一些特殊结果,,因为对任二非负实数有证法一用数学归纳法,夕二“夕,故证明首先证明当时显然成户么·‘·’·,,’吸一热’“”‘“’立时式成立即有丫台台,“夕夕一一一一一一一坛一一““《口口‘·‘’·‘一艺”“”’“’‘““’‘“’由复数的模与共辘复数的关系可知丫台材台“口夕,·,“,,《乙刀仇乙,,口夕口口,一,“夕夕再由得,一一口口口口乙‘,户,‘】,一之曰户,“飞乙将上二式右端接复数乘法法则展开并将左右,,两端分别相加得,·,’“,,““。刀处艺夕口刀刀“一一,’,刀风万由此知式成立十“,风兄,二,,其次设时式
3、成立即有·’“口、’·,忍,,‘,’·,,吞《刀艺刀即夕簇乙乙刀,二,。可见时式也成立二、民、么,。,艺刀由数学归纳法对任何自然数皆有睿·,州、·,时则式右端变成勺刀,《云乙夕。,、证法二为使问题简单起见我们首先忿··证明拉格朗日等式,一万刀名·“·“买二刀,二’·,’·名刀—’口,鑫鑫芬一,。’压刀一协玲··“·’《二。,“,、’·刀。皿﹃叫艺,·,·鑫了【睿事实,艺公仇尽一刀名瓦仄,上因某一复数变成实数时此复数的实部即为,一’此复数本身所以上述不等式变成乙队瓦忑’,”··‘协《二“、一一,,,,刀。一石刀乙乙仄瓦瓦尸。与一
4、”鑫,卜怜,,《《卜一十。—,么将这二式两端分别相加移项即得式、乙刀】艺月,由式立刻推得式成立即有。州广、·往,’·,’一《刀︸刀名、·口乃名,么刀夕即乙兄,,显然方法一比起方法二要简单得多,因此〔式成立即且只用到一个复数与其共辆复数的乘积等于该复数模的平方这样一个关系“·、艺、·《冗引刀成立乙口,吕证法三因,式中等号成立当且仅当在,一,’,一,,一‘·注意、矛刀口,,“,柞兄瓦艺式中的一口产‘。,·一”“全部是时即只在贵贵〔,一,,’、’〕,兄了口夕时式等号成立叨,不等式在实数域中当然成立,当式中的仇队皆为实数时便得实数、,
5、一,,,。行艺刀夕。李首二兄允州,川兄域中的柯西布尼雅柯夫斯基不等式甲目—·’二“《二··户了、︸户,吸呼了片才夕、睿睿艺队,‘,、,,,当兄月时口⋯,,、,特别地当俩为正实数刀时则由,式可得如下不等式全部为所以式自然成立。⋯、,现在看刀钾时的情况因为丈”“⋯。么,下转第页任何复数‘式均成立所以在该式中令晒。,建立极坐标系如图先求椭圆将它们代入①式整理得一。,七二一一,的极坐标方程设的为椭圆上的任’“‘““一“,二,而万万不万低一点则匕月设月石。,·口,同理可证定理对双曲线也成立的倾斜角为则。,例过有心二次曲线二一‘等,‘、一
6、尹梦的焦点作弦,求证各弦的中点轨迹仍是有三一一止沐一川长,蒸心二次曲线且离心率和原曲线相同即与。原曲线相似,,证不妨设诸弦过一焦点图二,,设诸弦的中点为则诸弦的斜率,一二厂①二过诸弦中点的直径斜率剐奋一,在△中由正弦定理得二二竺由上定理得,一戈劣一。一一一“,刀阴劣“一戈艺一戈了整理得二·,从口一这里因焦点在轴所以》。二一丢了不石一圣亿下丽·口一阴,阴设常数去了不丽,得把①代入得二,而万面丽·②而顽戈一,“,。,一一之犷双曲线的极坐标方程同样也是②式所以,“阴寸,“一‘,。。时②式为椭圆。。时②式为双曲线,。因此仍为有心二次曲
7、线斜积数也相同,“。若化为直角坐标方程则得由二一可得离心率也相同即它们是,么只变了中心位置和顶点距离万而与原有心二。一一一参看图了犷丽砰次曲线相似的有心二次曲线此题原是两最后我们再给出一个定理,,,题用这统一公式就变为一题而且证明定理有心二次曲线的任一弦的斜率,。比较简单最后形式也比较明显食和过该弦中点的直径的斜率的乘积等于上接第页。斜积数。”孟。或〔⋯〕证先证对于椭圆定理成立设任一弦忍《⋯,二,,二,,与椭圆的交点为,夕。,,,⋯丢夕,一则吞一劣由上式立刻推得个正数的算术平均值不劣工一劣蚤,么一,大于这几个数的平方的算术平均
8、值的平方咎。劣工劣因此寿一么一戈①,根即,又尸尸在椭圆上由统一公式得‘。,、价、,,,么云兑劣一,一竺亡尹且义一一十”,一‘叼儿,一二协,兰—亡竺过“,劣二“‘。符号表示复数的实部即爪
