【北师大版文科】2020年高考数学一轮复习学案 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和.doc

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1、第三节　等比数列及其前n项和[考纲传真]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第72页)[基础知识填充]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝

2、ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝aB．2．等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：Sn＝3．等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则有ak·al＝am·an.(2)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即

3、ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.[知识拓展]1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝aB．(　　)(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2

4、n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(2018·广州模拟)已知等比数列{an}的公比为－，则的值是(　　)A．－2　　　　B．－　　　　C．　　　　D．2A　[＝＝－2.]3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝(　　)【导学号：00090168】A．64B．128C．256D．512A　[设等比数列的首项为a1，公比为q，则由解得或(舍去)，所以a6＝a1q5＝64，故选A．]4．(教材改编)在9与243

5、中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2018·长春模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴＝126，解得n＝6.](对应学生用书第72页)等比数列的基本运算　(1)(2018·合肥模拟)已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前

6、n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)A．32　　　　B．64　　　　C．128　　　　D．256(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于__________．(1)C　(2)2n－1　[(1)∵{an}为等比数列，a2·a4＝16，∴a3＝4.∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴S2＝＝3，∴(1－q2)＝3(1－q)，即3q2－4q－4＝0，∴q＝－或q＝2.∵an>0，∴q＝2，则a1＝1，∴a8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1.][规律方法]　1.等

7、比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1]　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　)A．1B．－C．1或－D．－1或(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝_