【备战2020高考】高三数学一轮热点难点 专题07 函数的最值与值域的妙解.doc

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1、考纲要求:1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2、会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾:函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥m；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝m.结论M为最大值m为最小值应用举例:招数一：换元法与配方法【例1】求函数=)的最值及取得最值时的值.【答案】其图象是对称轴为，开口向上的抛物线.∵∴∴当，即时，；当，即时

2、，.点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解决的关键是分清对称轴与区间的关系，并根据函数的图象求解；当条件中含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．【例2】【山东省曲阜师范大学附属中学上学期期末考试】若实数满足，则的最小值是（）A．B．1C．D．5【答案】C【例3】【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】定义运算：，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：令，得，即可得到，即可求解其最大值．

3、详解：令，由于，所以，所以，所以其最大值为，故选D．点睛：本题主要考查了函数的新定义运算，二次函数与三角函数的性质，其中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．招数二：图像法【例4】【2018年高考数学（理科，通用版）练酷专题二轮复习课时跟踪检测】已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当

4、f(x)

5、≥g(x)时，h(x)＝

6、f(x)

7、；当

8、f(x)

9、

10、C【例5】【湖南省郴州市2017-2018学年期末考试】已知函数（Ⅰ）画出函数的大致图象；（Ⅱ）写出函数的最大值和单调递减区间【答案】(1)见解析(2)的最大值为2.其单调递减区间为或.招数三：基本不等式法【例6】【2017浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设，若定义域为的函数，满足，则的最大值为__________．【答案】.【解析】设，∴，显然，当取到最大值时，，∴，∴，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故填：.【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不

11、等式”才可相乘.【例7】【2017河北省武安一中高三月考】求函数的值域.【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)．招数四：单调性法【例8】设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝(　　)A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，所以函数在区间[3,4]上单调递减，所以，所以．选D．【例9】【山西省太原市实验中学2018届高三上学期9月月考】函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.【答案】3【例10】【山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试】若函数在区间上的最大值为6，则_____

12、__.【答案】4【解析】由题意，函数在上为单调递增函数，又，且，所以当时，函数取得最大值，即，因为，所以.【例11】【山西省太原市实验中学2018届高三上学期9月月考】已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0，1](a为实数).(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.【答案】(1)(－∞，1].(2)见解析【解析】试题分析：（1）将a的值代入函数解析式，利用定义证明函数的单调性，从而求出函数的值域；（2）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1]上的单调性

13、，求出函数的最值．试题解析：(1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－＝(x1－x2).∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；当a＜0时，f(x)＝2x＋，当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－

14、a；当＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.招