资源描述：
《Cantor集地性质及其应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号,734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词Cantor集;测度;稠密集;完备集中图分类号O174TheExpandabilityandApplicationsofCantorSetHuangYuxiaInstructorGuoJinsheng（No.09,Class1of2012.SpecisltyofMathematicsandAppliedMathematics,HexiUnive
2、rsity,Zhangye,Gansu,734000）Abstract:ThispaperexpandsCantorset,aswellasmakesCantorsetbydividingitintofiveparts,thendiscussesit’srelatedpropertiesandapplicationsinthissituation.Keywords:Cantorset;measure;dense set;exhaustiveset1引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并
3、非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.
4、2预备知识定义2.1设,如果(表示的导集),则称为完备集或完全集.定义2.2凡和全体正整数所成集合对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3若两个集合,之间存在着一一的到上的映射,则与是对等的,记为.此时也称与等势或者有相同的基数,记为=.定义2.4设为中的一个点集,是中的一个定点,若附近全是的点,即使,则称为的点.定义2.5设,是直线上的两个点集,如果中每一点的任一环境中必有的点,那么称在中稠密.如果直线上的点集在每一个不空的开集中都不稠密,就称是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理)直线上的闭集或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不
5、相交的开区间（即的余区间）所得到的集.3主要容3.1Cantor集的构成(1)将闭区间三等分,去掉中间一个个长度为的开区间,记作;剩下两个长度均为的闭区间和,分别记为和;(2)将剩下的两个闭区间和分别继续三等分,去掉其中间两个长度为的开区间和,分别记为和,剩下的四个小闭区间,分别是,,和,分别记为和;(3)如此继续下去,第次去掉个长度为的开区间,剩下个长度为的闭区间,记为;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第次分割开区间个数闭区间个数小区间长度表1(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列.作点集=,则称为Cantor集.3
6、.2对Cantor集构造方法的拓展基于Cantor三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1将闭区间五等分,进行构造(1)将闭区间五等分,去掉中间两个长度为的开区间和,记作和;剩下三个长度均为的闭区间,和,分别记为,和;(2)将剩下的三个闭区间,和分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为的开区间,,,,.分别记为,,和.剩九个小闭区间,分别为,,,,,,,.分别记为,,,和;(3)如此继续下去,第次去掉个长度为的开区间,剩下个长度为的闭区间,记为;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割第2次分割第3次分割第次分割开区间
7、个数闭区间个数小区间长度表2(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列.作点集=.在下面3.3中可证得具有与Cantor三分集完全相同的性质.3.2.2对于任意给定的正奇数.(1)将闭区间进行等分,并去掉中间的第个开区间,,,记留存部分为,即.(2)将剩下的个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第个中间开区间;记中留下来的部分为,(3)如此继续下去,第次去掉个长度为的开区间,剩下个长度为的闭区间,记为;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割
