曲线积分与格林公式总结材料.doc

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1、一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为m(x,y).求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段,Ds1,Ds2,×××,Dsn(Dsi也表示弧长);任取(xi,hi)ÎDsi,得第i小段质量的近似值m(xi,hi)Dsi;整个物质曲线的质量近似为;令l=max{Ds1,Ds2,×××,Dsn}®0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,×××,Mn-1把L分在

2、n个小段.设第i个小段的长度为Dsi,又(xi,hi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(xi,hi)Dsi,(i=1,2,×××,n),并作和,如果当各小弧段的长度的最大值l®0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.设函数f(x,y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.将L任意分成n个弧段:Ds1,Ds2,×××,Dsn,并用Dsi表示第i段的弧长;在每一弧段Dsi上任取一点(xi,hi),作和;令l=max{Ds1,Ds2,×××,Dsn},如果当l®0时

3、,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定f(x,y)在L上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值,其中m(x,y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广:.如果L(或G)是分段光滑的,则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定.闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x,

4、y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作.对弧长的曲线积分的性质:性质1设c1、c2为常数,则;性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则;性质3设在L上f(x,y)£g(x,y),则.特别地,有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x,y),则曲线形构件L的质量为.另一方面,若曲线L的参数方程为x=j(t),y=y(t)(a£t£b),则质量元素为,曲线的质量为.即.定理设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=j(t),y=y(t)(a£t£b),其中j(t)、y(t)在[a,b]上具有一阶连续导数,

5、且j¢2(t)+y¢2(t)¹0,则曲线积分存在,且(a

6、为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1).解取坐标系如图所示,则.曲线L的参数方程为x=Rcosq,y=Rsinq(-a£q

7、2对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy面在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x,y)所作的功.用曲线L上的点A=A0,A1,A2,×××,An-1,An=B把L分成n个小弧段,设Ak=(xk,yk),有向线段的长度为Dsk,它与x轴的夹角为tk,则(k=0,1,2,×××,n-1).显然,变力F(x,y)沿有向小弧段所作的功可以近似为;于是,变力F(x,y)所作的功,从而.这里t=t(x,y),{co