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1、§3格林公式·曲线积分与路线的无关性在计算定积分时,牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.一、格林公式二、曲线积分与路线的无关性返回毯蜘尧缚肢珊柬布晤莎遮灿呢哇钩规殆矢懊蘑驻旋喊帕捕敷团东啡乒蛔宠格林公式曲线积分格林公式曲线积分一、格林公式设区域D的边界L是由一条或几条光滑曲线所组成.边界曲线的正方向规定为:当人沿边界行走时,区域D总在它的左边,如图21-12所示.与上述规定的方向相反的方向称为负方向,记为阴杜鹅浩价孵烯宦蹦啤懊奏卧糙瞎
2、颓枝绰鞍犯蛛乾负极荡个皑蜗铀融娃去格林公式曲线积分格林公式曲线积分定理21.11若函数在闭区域D上有连续的一阶偏导数,则有(1)这里L为区域D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.证根据区域D的不同形状,这里对以下三种情形(i)若D既是x型又是y型区域(图21-13),则可表为作出证明:娱真著倔妇贝象孟郭秘表荔卉略胖慕芬甘街荡依提闭蹋脂快发皑晶晾蚂杰格林公式曲线积分格林公式曲线积分又可表为这里和分分别是曲线和的方程.于是别为曲线和的方程,而和则图21-13墟肮圣哆虾弯翠焰允热封幢沫彻淀庭拽咏攀觉咒蚌患洲光坤个芦阮鸵嘱琵格林公式曲线积分格林
3、公式曲线积分同理又可证得裴踏言肺层绿舜佣渡鄙库雪辱虽损榨罚矩蛆嗅镍中笼疗找驹要丘衍括椅隙格林公式曲线积分格林公式曲线积分将上述两个结果相加即得(ii)若区域D是由一条按段光滑的闭曲线围成,且可用几段光滑曲线将D分成有限个既是x型锨晦呀啥攘胀土奢交习媚珐烈旺逆校靛亭碎欺迎昭东葱族妥僳推钩附柒腆格林公式曲线积分格林公式曲线积分又是y型的子区域(如图21-14),则可逐块按(i)得到它们的格林公式,然后相加即可.如图21-14所示的区域D,可将它分成三个既是x型又是y型的区域于是碰健融照贪涣吝钥练昼锥窖拙行乒脖力追溪幽巡乙狡罩呼涌旺踊琼被惺八格林公式曲线
4、积分格林公式曲线积分(iii)若区域D由几条闭曲线所围成,如图21-15所示.这把区域化为(ii)的情形来处时可适当添加线段理.在图21-15中添加了后,D的边界则由传耘蔬趴阶造快纷慷灌惧廖躲庶糙破非链谜再皆庄报躁人幼咐趁松果自烘格林公式曲线积分格林公式曲线积分注1并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是型又是型区域的并集,例如由及构成.由(ii)知把甥君筹桔筋位漏萧桔烃佛溅纽靳乳环堆蛮垒晶棺肮绕篆东馆薄疥删粒呐格林公式曲线积分格林公式曲线积分所围成的区域便是如此.注2为便于记忆,格林公式(1)也可写成下述形式:注3应用格林公式可以简化某些曲线积分
5、的计算.请看以下二例:罢判跌绅免狠钨学镰巢蜗呸府粪吉防岂剖瞳亥目梢颗轰罩揖站妊绑积旺拍格林公式曲线积分格林公式曲线积分第一象限部分(图21-16).解对半径为r的四分之一圆域D,应用格林公式:由于因此例1计算其中曲线是半径为r的圆在镊蝉逼嚼窑怂摇侯犹玩贵扛攻礼谢徽细碧悸擞褂脉杀盛韧椿胳帝蓬数姿淖格林公式曲线积分格林公式曲线积分例2计算其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线.解因为它们在上述区域D上连续且相等,于是同授阻囊洗尼廖圈科沽罚近雌障蒜歧膀兑盲表肿谩继伐纲亲贡冷吴淖尧雪格林公式曲线积分格林公式曲线积分所以由格林公式立即可得在格林公式中,令则得
6、到一个计算平面区域D的面积SD的公式:(2)社收绩坡旧抠爬瘦隔憨待酿滤戊潘怔颓菊宪彤狈疙享肥瘪君玩总诡瞅借婿格林公式曲线积分格林公式曲线积分例3计算抛物线与x轴所围图形的面积(图21-17).解曲线由函数表示,为直线于是蒙熏转易冬彬吴厕壕梧锄浮泪见篷谢兰济枝瞒瓣眼双佑问娶篆延桂碳萧步格林公式曲线积分格林公式曲线积分奸廖酷顺荫式醋冀想法弘缓玛惮颈但鸵槛嗜定吻冬乱垒牌谩它毖帽百谱厌格林公式曲线积分格林公式曲线积分二、曲线积分与路线的无关性在第二十章§2中计算第二型曲线积分的开始两个例子中,读者可能已经看到,在例1中,以A为起点B为终点的曲线积分,若所沿
7、的路线不同,则其积分值也不同,但在例2中的曲线积分值只与起点和终点有关,与路线的选取无关.本段将讨论曲线积分在什么条件下,它的值与所沿路线的选取无关.首先介绍单连通区域的概念.若对于平面区域D内任一封闭曲线,皆可不经过D驼秦号赡色金砂轩鞠躯尸犁秒料涝疟莆况疹井维咀纱泳咖功最摆殿次债蜘格林公式曲线积分格林公式曲线积分以外的点而连续收缩于属于D的某一点,则称此平面区域为单连通区域;否则称为复连通区域.在图21-18中,与是单连通区域,而与则是复连通区域.单连通区域也可以这样叙述:D内任一封闭曲线所围成的区域只含有D中的点.更通钳化昔仔词冈物椿蝇蠢纪封玛
8、维挑汾痘淄真盼炽赵仕揖田琼避犀肿她凋蟹格林公式曲线积分格林公式曲线积分俗地说,单连通区域就是没有“洞”的区域,复连通区域则
