2020一轮北师大版（理）数学教案 第2章 第8节　函数与方程含解析.doc

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1、第八节　函数与方程[考纲传真]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数f(x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少

2、有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(

3、b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0　B．1　　　　C．2　　　　D．3B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)A．y＝cosxB

4、．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1A　[由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cosx是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)【导学号：57962074】A．(0,1)B．(1,2)C．(－2，－1)D．(－1,0)D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f

5、(0)＜0，故选D.]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．【导学号：57962075】　[∵函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，∴实数a的取值范围是.]函数零点所在区间的判断　(1)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(　　)【导学号：57962076】A．(0,1)　　　　B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)函数f(x)＝x2－3

6、x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．(1)B　(2)存在　[(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图像是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．法二：令

7、f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．][规律方法]　判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断．[变式训练1]　已知函数f(x)＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)A．(0,1)B．(1

8、,2)C．(2,3)D．(3,4)C　[∵f(x)＝lnx－x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln1－－1＝ln1－2＜0，f(2)＝ln2－0＜0，f(3)＝ln3－1＞0，∴x0∈(2,3)，故选C.]判断函数零点的个数　(1)函数f(x)＝2x

9、log0.5x

10、－1的零点个数为(　　)【导学号：57962077】A．1　B．2C．3　　　　D．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝的零点个数是_____