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《江苏专版2020届高三数学备考冲刺140分问题06_三角形中的不等问题与最值问题_含解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题6三角形中的不等问题与最值问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为这一限制条件．(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．三、知识拓展(1)若△ABC是锐角三角形,则,、(2)若△ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则(3)△ABC中,若,则,,=.(
2、4)若成等差数列,则.四、题型分析(一)角或角的三角函数的范围或最值【例1】【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】在中，若，则的最大值为______.【答案】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【解析】在△ABC中，有,所以==,当即时取等.故答案为：【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【小试牛刀】【2018江苏省南京市多校第一次段考】在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最小值是__________．【答案】【解析】，，, , , 当且仅当时成立.(二)边的范围或
3、最值【例2】在△中,若,点,分别是,的中点,则的取值范围为．【分析】先得出,设,转化为函数求值域.【解析】设分别是的中点,,所以由正弦定理得,,设,结合,由可得.,故答案为.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将表示为关于的函数,再根据方法⑤解答的.【小试牛刀】【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，
4、观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．（1）若当时，，求此时的值；（2）设，且．（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求关系式为，．（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，所以，解得，经验证知，所以．即两处喷泉间距离的最小值为．(三)周长的范围或最值【例3】在
5、锐角中,,.（1）若的面积等于,求、；（2）求的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．【解析】（1）由及正弦定理得：,又,.又为锐角,故,又,由得,所以由解得.（2）由正弦定理得,,记周长为,则,又,,为锐角三角形,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.【小试牛刀】中,角、、所对的边为、、,且．（1）求角；（2）若,求的周长的最大值．【答案】（1）；（2）6．
6、【解析】（1）,解得．（2）,周长,当时,△ABC的周长的最大值为6．(四)面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ＝90°,OP＝2,点M在线段PQ上．(1)若,求PM的长；(2)若点N在线段MQ上,且∠MON＝30°,问：当∠POM取何值时,△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求△OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN的面积表示为∠POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为∠POM的函数是关键.【解析】(1
7、)在中,,,,由余弦定理得,,得,解得或．(2)设,,在中,由正弦定理,得,所以,同理故因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值．即时,△OMN的面积的最小值为．【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届
