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《江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题12利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题含解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考．二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为
2、常数的形式,然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值．(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解．(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(6)求参数的值或范围：观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围．三、知识拓展1．(1)若,
3、则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；(3)若,则（当且仅当时取“=”）．3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．6．若,则（当且仅当时取“=”）．7．一个重要的不等式链：．8.9．函数图象及性质(1)函数图象如右图所示：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：．10.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当
4、两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．四、题型分析(一)利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式．类型
5、一给出定值【例1】【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市)2019届高三第一学期期末】已知实数，且，则的最小值为____【答案】【解析】由于a+b＝2，且a＞b＞0，则0＜b＜1＜a＜2，所以，，令t＝2a﹣1∈（1，3），则2a＝t+1，所以，当且仅当，即当时，等号成立．因此，的最小值为．故答案为：．【小试牛刀】设是正实数,且,则的最小值是__________．【答案】．【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】【分析二】考虑整体替换的方法,分母的和为常数．【解析二】设,
6、,则,类型二未知定值【例2】已知为正实数,则的最小值为A．B．C．D．3【答案】3【解析】,当且仅当时取等号.【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法,其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件,对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【小试牛刀】已知函数在R上是单调递增函数,则的最小值是【答案】1【解析】由题意的,因为函数在上单调递增,所以满足,可得,且所以,当且仅当时等号成立,所以.技巧一：凑项【例3】设,则的最小值是【分析】拼凑成和为定值的形式【解析】(当且仅当和,即
7、时取等号).【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件,如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象,还应加强非定构定、不等作图这方面的训练,并注重表达的规范性,才能灵活应对这类题型.【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】设为正实数，且，则的最小值为________.【答案】27【解析】因为，所以因此当且仅当时取等号，即的最小值为27.技巧二：凑系数【例4】当时,求的最大值．【分析】由知,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积
8、的形式,但其和不是定值．注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可．【解析】,当,即时取等号,∴当时,的最大值为8．【评注】本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值．【小试牛刀】设,求函数的最大值．【解析】∵,∴,∴,当且仅当,即时等号成立．【点评
