江苏省普通高等学校2020年高三招生考试20套模拟测试附加题 数学试题十 含解析.doc

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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，AB为圆O的直径，直线CD与圆O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连结AD、BD.若AC＝4，DE＝3，求BD的长．B.(选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M＝(a∈R)的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy中，若曲线C在矩阵M变换下得到的曲线的方程为x2

2、＋y2＝1，求曲线C的方程．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A的极坐标为，圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．D.(选修4-5：不等式选讲)已知正实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝1.求证：＋＋＋≤2.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，设＝λ(λ∈R)．(1)若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1

3、D的大小为60°，求实数λ的值．23.设集合M＝{1，2，3，…，n}(n∈N，n≥3)，记M的含有三个元素的子集个数为Sn，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为Tn.(1)分别求，，，的值；(2)猜想关于n的表达式，并证明之．(十)21.A.解：因为CD与圆O相切于D，所以∠CDA＝∠DBA.(2分)因为AB为圆O的直径，所以∠ADB＝90°.又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，所以∠EDA＝∠DBA，所以∠EDA＝∠CDA.(4分)又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△ACD≌△AED.

4、所以AE＝AC＝4，所以AD＝＝5.(6分)又＝，所以BD＝·AD＝.(10分)B.解：由题意，矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因矩阵M有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a＝2.(4分)所以M＝＝，即代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.(10分)C.解：点A的直角坐标为(2，－2)，(2分)圆E的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，(6分)则点A到圆心E的距离d＝＝4>r＝2，所以点A在圆E外．(10分)D.证明：因为(＋＋＋)2≤4(1＋2a＋1＋2b

5、＋1＋2c＋1＋2d)，(6分)又a＋b＋c＋d＝1，所以(＋＋＋)2≤24，即＋＋＋≤2.(10分)22.解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，4，2)．(2分)(1)当λ＝1时，D为BC的中点，所以D(1，2，0)，＝(1，－2，2)，＝(0，4，0)，＝(1，2，－2)．设平面A1C1D的法向量为n1＝(x，y，z)，则所以取n1＝(2，0，1)．又cos〈，n1〉＝＝＝，所以直线DB1与平面A1C1D所

6、成角的正弦值为.(6分)(2)因为＝λ，所以D，所以＝(0，4，0)，＝.设平面A1C1D的法向量n1＝(x，y，z)，则所以取n1＝(λ＋1，0，1)．又平面A1B1C1的一个法向量为n2＝(0，0，1)，由题意得

7、cos〈n1，n2〉

8、＝，所以＝，解得λ＝－1或λ＝－－1(不合题意，舍去)，所以实数λ的值为－1.(10分)23.解：(1)＝2，＝，＝3，＝.(4分)(2)猜想＝.(5分)下用数学归纳法证明之．证明：①当n＝3时，由(1)知猜想成立；②假设当n＝k(k≥3)时，猜想成立，即＝，而Sk＝C，所以得Tk＝C.(6分)则当n＝k＋1时

9、，易知Sk＋1＝C，而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k＋1}时，Tk＋1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(k－1)个k，所以Tk＋1＝Tk＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k－1)＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)＝C＋2(C＋C＋C＋…＋C)＝C＋2C＝C＝Sk＋1，即＝.所以当n＝k＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．(10分)(说明：未用数学归纳法证明，直接求出Tn来证明的，同样给分．)