江苏省普通高等学校2020年高三招生考试20套模拟测试附加题 数学试题九 含解析.doc

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1、江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修4-1：几何证明选讲)如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.B.(选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A＝，求矩阵A的特征值和特征向量．C.(选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2－8ρsin＋13＝0，已知A，B，P为

2、圆C上一点，求△PAB面积的最小值．D.(选修4-5：不等式选讲)设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ(0≤λ≤1)．(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．23.已知数列{an}满足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n

3、∈N*.求证：(1)g(2)＞；(2)当n≥3时，g(n)＞.(九)21.A.证明：连结OT.因为AT是切线，所以OT⊥AP.(2分)因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.(5分)又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，(8分)所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.(10分)B.解：矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，(2分)由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)当λ1＝2时，特征方程组为故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝；(7分)当λ2＝3时，特征方程组为故属于特征值λ2＝3的一个特征

4、向量α2＝.(10分)C.解：圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x－4y＋13＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝3.(4分)又A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB＝2.(6分)P到直线AB距离的最小值为2－＝，(8分)所以△PAB面积的最小值为×2×＝.(10分)D.证明：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，2x＋－2y＝2(x－y)＋(4分)＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，(8分)所以2x＋≥2y＋3.(10分)22.解：以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AC＝1，AA1＝

5、2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，P(1，0，2λ)．(1分)(1)由λ＝得，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，1，－2)，设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2，2，1)．(3分)设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ＝

6、cos〈，n1〉

7、＝

8、

9、＝，所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.(5分)(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，＝(1，0，2λ－2)，由得不

10、妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，所以平面PA1C的法向量为n2＝(2－2λ，2，1)．(7分)则cos〈n1，n2〉＝.因为二面角PA1CB的正弦值为，所以＝，(9分)化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ的值为1.(10分)23.证明：(1)由题意知，an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋，(1分)当n＝2时，g(2)＝＋＋＝＋＋＝＞.(2分)(2)用数学归纳法加以证明：①当n＝3时，g(3)＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋＞＋＋＝＋＋＞＋＋＞，所以当n＝3时，结论成立．(4分)②假设当n＝k时，结论成立，即g(k)＞，则

11、n＝k＋1时，g(k＋1)＝g(k)＋(6分)＞＋＞＋－＝＋＝＋，由k≥3可知，3k2－7k－3＞0，即g(k＋1)＞.所以当n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可得，当n≥3时，g(n)＞.(10分)