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1、【立体设计】2012届高考数学第3章第4节导数的实际应用挑战真题(福建版)1.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析:y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9(-9舍去).当00;当x>9时,y′<0,则当x=9时,y取得最大值,故选C.答案:C2.(2009·湖南)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只
2、需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即,(2)由(1)知,令得,所以x=64.当00,f(x)在区间(64,640)内为
3、增函数.所以f(x)在x=64处取得最小值.此时故需新建9个桥墩才能使y最小.3.(2008·江苏)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km.为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO.记排污管道的总长度为ykm.(1)按下列要求建立函数关系:①设∠BAO=θ(rad),将y表示为θ的函数;3用心爱心专心②设PO=x(km),将y表示为x的函数.(2)请你选用
4、(1)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短.解:(1)①如图,延长PO交AB于点Q,由题设可知BQ=AQ=AB=10,AO=BO,PO=10-OQ.在Rt△AQO中,AO=,OQ=10tanθ,所以y=AO+BO+PO=+10-10tanθ.又易知0≤θ≤,故y用θ表示的函数为y=-10tanθ+10(0≤θ≤).②由题设可知,在Rt△AQO中,则y=AO+BO+PO=显然0≤x≤10,所以y用x表示的函数为(2)选用(1)中的函数关系y=-10tanθ+10(0≤θ≤)来确定符合要
5、求的污水处理厂的位置.因为y=-10tanθ+10=-10·+10,所以由因为0≤θ≤,所以θ=.当θ∈[0,时,y′<0;当θ∈时,y′>0,所以函数y在θ=时取得极小值,这个极小值就是函数y在上的最小值.当θ=时,AO=BO=(km).因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为km时,铺设的排污管道的总长度最短.3用心爱心专心3用心爱心专心
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