【命题探究】2014版高考数学知识点讲座 考点38 空间点、线、面之间的关系（含解析）新人教A版.doc

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1、【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点38空间点、线、面之间的关系（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标平面的概念与基本性质；空间直线、平面之间的各种位置关系；应用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面等；应用公理4及等角定理解决有关问题；异面直线的判定、异面直线所成的角.二.知识梳理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那

2、么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β交点个数000直线与直线直线与平面平面与平面相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l交点个数11无数个直线与直线直线与平面平面与平面4独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α交点个数0无数个3.异面直线所成的角设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或

3、直角)叫做异面直线a与b所成的角，其范围为：(0，]．4．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补三．考点逐个突破1.平面的基本性质及应用[例1]　如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．[解]　(1)∵＝＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH

4、，∴EF∥GH.而EF∥AC.∴AC∥GH.∴＝＝3，即AH∶HD＝3∶1.(2)证明：∵EF∥GH，且＝，＝，∴EF≠GH.∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，4∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．2.空间两条直线的位置关系[例2]　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理

5、由．[解]　(1)不是异面直线．理由：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A//C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，理由如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴

6、假设不成立，∴D1B与CC1是异面直线．3.异面直线所成的角[例3]　正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[思路点拨]　(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A1C1与EF垂直．4[解]　(1)如图所示，连接B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A

7、1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC、BD,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.4