资源描述：
《初中数学竞赛专题选讲《基本对称式》.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、初中数学竞赛专题选讲基本对称式一、内容提要1.上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对称式.2.含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －， ……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －=－,==.
2、3.设x+y=m,xy=n.则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2；………一般地，xn+yn (n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：xk+1+yk+1=(xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1) (k为正整数).4.含x, y的对称式，x+y,xy这三个代数式之间，
3、任意知道两式，可求第三式.二、例题例1.已知x=(+1),y=求下列代数式的值： ①x3+x2y+xy2+y3；②x2(2y+3)+y2(2x+3).解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=, xy=.① x3+x2y+xy2+y3＝（x+y）3－2xy(x+y)=()3－2×=2； ② x2(2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)=3［（
4、）2×＝－6.例1.解方程组分析：可由 x3+y3,x+y求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y.解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y)③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组 得 或.例2.化简 ＋.解：设＝x, =y. 那么 x3+y3=40, xy==2. ∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)， ∴ 40＝（x+y）3－6（x＋y）.设x+y=u,得 u3－6u－40=0.(u－4)(u2+4u+10)=0.
5、 ∵u2+4u+10=0没有实数根， ∴u－4＝0, u＝4. ∴x+y=4.即 ＋＝4.例3.a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为x1, x2. 根据韦达定理， 得 ∵＝＝＝，∴当a=2时， 有最小值是2.三、练习1. 已知x－y=a, xy=b. 则x2+y2=______； x3－y3=______.2. 若x+y=1,x2+y2=2. 则 x3+y3=_______； x5+y5=______.3. 如果 x+y=－2
6、k,xy=4,. 则 k=_____.4.已知x+=4, 那么x－=____ ， =＿＿＿.1.若.＝a, 那么x+=______, =＿＿＿.2.已知：a=, b=.求： ①7a2+11ab+7b2； ②a3+b3－a2－b2－3ab+1.3.已知＝8，则＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）4.已知 a2+a－1=0则a3－=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛)5.已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （
7、1990年泉州市初二数学双基赛）6.化简： ①； ②.练习题参考答案1. a2+2b,a3+3ab 2.2.5,4.75 3. ±4. 2或－2， 14， 52 5. a2－2,a4－4a2+26. 109,36 7.62 8.–49.x2±3x＋2＝0 10. ①1， ②2
