高二数学合情推理与演绎推理（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

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1、高二数学合情推理与演绎推理（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：合情推理与演绎推理二.重点、难点1.合情推理（猜想，不一定正确）经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。（1）归纳推理：（由个别到一般）由某类事物的部分对象具有某种特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。（2）类比推理：（由特殊到特殊）由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具

2、有这些特征的推理称为类比推理。2.演绎推理（由一般到特殊）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。【典型例题】[例1]在数列中，，试猜想这个数列的通项公式。分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项。解：，，，，……∴的通项公式[例2]已知数列的前n项和为，且，计算，并猜想的表达式。解析：先化简递推关系：时，∴∴当n=1时，用心爱心专心当n=2时，∴当n=3时，∴当n=4时，∴猜想：[例3]在一容器内装有浓度为r%的溶液

3、a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为（每次注入的溶液浓度都是p%），计算，并归纳出的计算公式。解：∴归纳得[例4]在Rt△ABC中，若∠C=90°，则，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。分析：考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体P—ABC，且三个面与面ABC所成的二面角分别是。用心爱心专心解：如图，在Rt△ABC中于是把结论类比到四面体P—ABC中，我们猜想，三棱锥P—ABC中，若三个侧面PA

4、B、PBC、PCA两两互相垂直且分别与底面所成的角为。由此可猜想出四面体性质为：[例5]△DEF中有余弦定理：。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。分析：根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则∠DFE为面与面所成角∠DEF中有余弦定理：同乘以，得即[例6]在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立。解析：解法1：从分析所提供的性质入手：

5、由，可得，因而当时，有用心爱心专心而=0∴等式成立，同理可得时的情形由此可知：等差数列之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：类似地，在等比数列中，也有性质：因而得到答案：[例7]设m为实数，求证：方程没有实数根。证明：已知方程的判别式所以方程没有实数根点评：（1）“如果，若p真则q真”的推理形式为假言推理，它也是演绎推理的一种。此推理过程用三段论表述为：大前提：如果一元二次方程的判别式，那么这个方程没有实数根；小前提：一元二次方程的判别式；结论：一元二次方程没有实数根。[例8]设均

6、为正数，求证：证明：∵，，∴[例9]已知实数p满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明。由解得，所以，方程的判别式，因为，所以，所以，因此得方程无实根。用心爱心专心[例10]证明函数的值恒为正数。证明：当时，各项都为正数，因此，当时，为正数；当时，；当时，综上所述，函数的值恒为正数[例11]已知是不为1的正数，，且有和，求证：成等比数列。证：令且∴∵∴∴∴∴成等比数列[例12]已知是各项均为正数的等差数列，成等差数列，又，证明：为等比数列。证明：因为成等差数列，所以即设等差数列的公差为d，则所

7、以从而若d=0，则为常数列，相应也是常数列，此时用心爱心专心是以首项为正数，公比为1的等比数列若，则，这时是首项为，公比为的等比数列。所以综上知为等比数列。[例13]求证函数是奇数，且在定义域上是增函数。证明：（1）∵，定义域为∴即∴是奇函数（2）任取，且则∵∴，从而∴，故为增函数【模拟试题】1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都

8、相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③2.类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边（2）中位线长等于底边的一半用心爱心专心（3）三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有（）A.（1）B.（1）（2）C.（1）（2）（3）D.都不对3.求函数的定义域时，第一步推